30-60-90 三角形

每个直角三角形的三边之间都有比例。对几乎所有直角三角形来说，这些比例都是需要计算器的难看小数。只有两种例外，它们的比例是简短、可以直接写下的精确表达式，所以这两种三角形才会在一道又一道题里出现。

在下面切换这两种三角形，并改变它们的大小。

30-60-90 三角形从哪里来

从一个等边三角形开始：三条边相等，三个角都是 60°。从顶点到底边中点，把它从正中间竖着切开。

切线垂直于底边，所以得到一个直角。底边上的一个 60° 角原封不动。顶上的 60° 角被一分为二，变成 30°。这就是你的 30-60-90 三角形，它来自一个你早就知道边长的图形。

现在把边长读出来。如果等边三角形的边长是 2，那么切开后一半的斜边仍然是 2，底边被平分成 1。高由勾股定理求出：

h^2 = 2^2 - 1^2 = 3，所以 h = sqrt(3)。

三边为 1、sqrt(3) 和 2：这就是那个比例。它之所以精确，是因为它来自精确的作图，而不是测量。

哪条边在哪里

能避免大多数错误的规则是：最大的边对着最大的角。

所以斜边是短边的两倍，绝不是长边的两倍。又因为 sqrt(3) 约等于 1.73，长直角边的长度介于两者之间，这是检验你写下的任何答案是否合理的快速方法。

45-45-90 三角形是切成两半的正方形

同样的技巧，换一个图形。拿一个边长为 1 的正方形，沿对角线切开。剩下的两个角都是 45°，两条直角边相等，对角线就是斜边：

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2，所以 d = sqrt(2)。

比例为 1 : 1 : sqrt(2)。有正方形的地方就有它：屏幕的对角线、瓷砖、棋盘。

求缺失的边

始终先倒推出短边，再按比例放大。

已知斜边。斜边为 14 的 30-60-90 三角形：除以 2，短边是 7，长直角边是 7sqrt(3)。

已知长直角边。长直角边为 9 的 30-60-90 三角形：除以 sqrt(3) 得到短边 3sqrt(3)，所以斜边是 6sqrt(3)。

已知 45-45-90 三角形的一条直角边。另一条直角边和它相等，斜边是这条直角边乘以 sqrt(2)。

一边读这些例子，一边拖动图中的滑块：上面的计算只不过是三种不同大小下的读数。

做一道题

一个 30-60-90 三角形的短边是 6。它的长直角边是多少？

一个 30-60-90 三角形的短边是 6。60 度角所对的直角边有多长？

答案保留为 6sqrt(3)，而不是 10.39。精确形式才是解题下一步真正能用的，也是阅卷老师想看到的。

精确的三角函数值随之而来

因为这两种三角形的边长是精确的，它们的正弦和余弦值也是精确的，每张单位圆表格里的数字正是从这里来的：

整个第一象限里只有三个不同的值，而 30° 和 60° 是同一对值互换了位置。这正是你对同一个三角形从两个不同锐角去读时应该预料到的结果。