∈ はどういう意味ですか。

∈ は「の要素である」「に属する」という意味です。3 ∈ A は、3 が集合 A のメンバーの1つであることを表します。斜線を引いた ∉ は「の要素でない」という意味で、5 ∉ A は 5 が A に入っていないことを表します。この記号はギリシャ文字のイプシロンを様式化したもので、element(要素)の頭文字に由来します。

∈ と ⊆ の違いは何ですか。

∈ は要素と集合を結び、⊆ は集合と集合を結びます。A = {1, 2, 3} なら 2 ∈ A も {2} ⊆ A も正しいのですが、2 ⊆ A は誤りです。2 は数であって集合ではないからです。⊆ は「の部分集合である」と読みます。左の集合のすべての要素が、右の集合にも入っているという意味です。

内包的記法とは何ですか。

集合を、要素を並べるのではなく、条件で表す書き方です。{x | x > 3} は「x > 3 を満たすすべての x の集合」と読みます。縦線(本によってはコロン)は「を満たす」という意味です。要素が無限にある集合を書く実用的な方法はこれしかありません。

和集合と共通部分の違いは何ですか。

和集合 A ∪ B には、A に入っているもの、B に入っているもの、両方に入っているもののすべてが含まれます。共通部分 A ∩ B には、A と B の両方に同時に入っているものだけが含まれます。ベン図では和集合は2つの円を合わせた全体、共通部分は円が重なるレンズ形の部分なので、共通部分はつねに和集合の内側にあります。

補集合はどう書きますか。

多くの本は A′(A プライム)、Aᶜ、または上に横線を引いた A と書きます。3つとも同じ意味で、全体集合 U の要素のうち A に入っていないものすべてです。補集合は U によって決まるので、書き出す前に必ず全体集合が何かを確かめてください。

∅ はどういう意味ですか。

∅ は空集合、つまり要素を1つも持たない集合です。{} とも書けます。空集合はすべての集合の部分集合です。ほかの集合に欠けているかもしれない要素を1つも持たないからです。{∅} は空ではないことに注意してください。要素を1つ持つ集合で、その要素が空集合なのです。

⊂ と ⊆ の違いは何ですか。

⊆ は「の部分集合である」という意味で、2つの集合が等しい場合も認めます。⊂ はふつう真部分集合、つまりもう一方の集合より小さい部分集合を表します。ここは本によって違い、⊂ をすべての部分集合に使い、真部分集合を表すときは ⊊ と書く本もあります。区別が大事なときは、自分の授業がどちらの約束を使っているか確かめてください。

集合の記号と表し方

集合の記号は小さなアルファベットです。中かっこは集合を並べ、∈ は要素が属することを言い、∪ は2つの集合を合わせ、∩ は重なりを残し、プライムはそれ以外すべてを表します。どの記号もベン図の1つの領域です。

著者: Nethanel Bar, 共同創業者兼CEO

最終更新 2026年9月23日

集合とは、互いに異なるものの集まりで、その一つひとつを要素と呼びます。集合の記号は、集合を書き並べ、何が属しているかを述べ、2つの集合を組み合わせて3つ目をつくるための、ひと握りの記号です。全部で12個もなく、どの記号もベン図の1つの領域を名指しています。

ここでは A は12の約数、B は偶数で、どちらも全体集合 U = {1, 2, ..., 12} の中にあります。演算を選んで、どの領域に色がつくかを見てください。

集合

U = {1, 2, ..., 12}: 1から12までの整数
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}: 12の約数
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}: 偶数

演算

部分集合か?

要素を選ぶ

和集合

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}

読み方 A カップ B

A に入っているもの、B に入っているもの、両方に入っているもののすべて。

要素 8 個

記号

記号	名前	読み方	上の集合での例
{ }	中かっこ	「の集合」	A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
∈	要素である	「に属する」	6 ∈ A
∉	要素でない	「に属さない」	5 ∉ A
⊆	部分集合	「の部分集合である」	{2, 4} ⊆ B
∪	和集合	「A カップ B」	A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
∩	共通部分	「A キャップ B」	A ∩ B = {2, 4, 6, 12}
\	差集合	「A から B を除いたもの」	A \ B = {1, 3}
A′	補集合	「A の補集合」または「A でない」	A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11}
△	対称差	「A と B の対称差」	A △ B = {1, 3, 8, 10}
∅	空集合	「空集合」	A ∩ {5, 7} = ∅
U	全体集合	「全体集合」	考えているものすべて

最後の列の答えはどれも上の図で確かめられます。一度は手でやってみる価値があります。A と B を書き出し、2つのリストから各演算の答えを読み取ってください。

集合を書き表す

外延的記法は、要素を中かっこの中に並べます。A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}。これには2つの約束があります。順序は関係なく、重複も関係ないので、{1, 2, 3}、{3, 2, 1}、{1, 1, 2, 3} は同じ集合です。

内包的記法は、代わりに条件で要素を表します。

A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}

これは「12 を x で割った数も自然数になるような、自然数 x の集合」と読みます。縦線は「を満たす」という意味で、代わりにコロンを使う本もあります。要素が無限にある集合を書く方法は内包的記法しかありません。たとえば {x ∈ ℝ | x > 3} で、区間の記法ならこれを (3, ∞) と短く書けます。

数の体系にはそれぞれ専用の文字があります。ℕ は自然数、ℤ は整数、ℚ は有理数、ℝ は実数です。

2つの集合を組み合わせる

ほとんどの問題は4つの演算で片づきます。

和集合 A ∪ B: A か B か、その両方に入っているものすべて。「または」にあたります。同じものは二度書かないので、2、4、6、12 は両方の集合に入っていても1回だけ現れます。
共通部分 A ∩ B: 両方の集合に同時に入っているものだけ。「かつ」にあたります。
差集合 A \ B: A に入っていて B に入っていないもの。順序が大事です。B \ A = {8, 10} ですが、A \ B = {1, 3} です。マイナス記号で書く本もあります。
補集合 A′: 全体集合のうち A に入っていないものすべて。全体集合がなければ補集合は定義されません。どのベン図にもまわりに長方形があるのはそのためです。

対称差 A △ B は、和集合から共通部分を取り除いたもの、つまり2つの集合のちょうど一方だけに入っている要素です。

要素か、部分集合か

この2つは、この単元でいちばん取り違えられやすい記号です。どちらも「そこに入っているか」に答えるからです。

∈ は要素と集合を結びます。2 ∈ A。
⊆ は集合と集合を結びます。{2} ⊆ A。

「2 ⊆ A」と書くのは誤りです。2 は数であって集合ではないからです。「{2} ∈ A」も逆の理由で誤りです。A に入っているのは数 2 であって、集合 {2} ではないからです。

ある集合のそれぞれの要素がすべてもう一方に入っているとき、その集合はもう一方の部分集合です。1つでも欠けていれば偽になります。1 は A に入っていて B に入っていないので、A は B の部分集合ではありません。空集合はすべての集合の部分集合です。欠けているかもしれない要素を1つも持たないからです。

ベン図で数える

集合の要素の個数は縦線で表します。|A| = 6。和集合の要素を数えるには、2つの集合の個数を足し、二度数えた重なりを引きます。

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

上の集合なら 6 + 6 − 4 で 8 となり、和集合を直接数えたのと同じです。これが包除原理で、「フランス語かスペイン語をとっている生徒は何人か」のようなアンケートの問題はこれで答えます。

答えは 18 + 12 − 5 で 25 です。30 になったなら、両方をしている5人を二度数えています。

集合と論理は同じもの

和集合は「または」、共通部分は「かつ」、補集合は「でない」です。これはゆるいたとえではありません。ある要素が A ∩ B に入るのは、「A に入っていて、かつ B に入っている」という命題が真であるときとちょうど同じです。離散数学のページでこれらの言葉の真理値表を作ります。どちらも同じベン図で色分けできます。

よくある質問

∈ はどういう意味ですか。: ∈ は「の要素である」「に属する」という意味です。3 ∈ A は、3 が集合 A のメンバーの1つであることを表します。斜線を引いた ∉ は「の要素でない」という意味で、5 ∉ A は 5 が A に入っていないことを表します。この記号はギリシャ文字のイプシロンを様式化したもので、element(要素)の頭文字に由来します。
∈ と ⊆ の違いは何ですか。: ∈ は要素と集合を結び、⊆ は集合と集合を結びます。A = {1, 2, 3} なら 2 ∈ A も {2} ⊆ A も正しいのですが、2 ⊆ A は誤りです。2 は数であって集合ではないからです。⊆ は「の部分集合である」と読みます。左の集合のすべての要素が、右の集合にも入っているという意味です。
内包的記法とは何ですか。: 集合を、要素を並べるのではなく、条件で表す書き方です。{x | x > 3} は「x > 3 を満たすすべての x の集合」と読みます。縦線(本によってはコロン)は「を満たす」という意味です。要素が無限にある集合を書く実用的な方法はこれしかありません。
和集合と共通部分の違いは何ですか。: 和集合 A ∪ B には、A に入っているもの、B に入っているもの、両方に入っているもののすべてが含まれます。共通部分 A ∩ B には、A と B の両方に同時に入っているものだけが含まれます。ベン図では和集合は2つの円を合わせた全体、共通部分は円が重なるレンズ形の部分なので、共通部分はつねに和集合の内側にあります。
補集合はどう書きますか。: 多くの本は A′(A プライム)、Aᶜ、または上に横線を引いた A と書きます。3つとも同じ意味で、全体集合 U の要素のうち A に入っていないものすべてです。補集合は U によって決まるので、書き出す前に必ず全体集合が何かを確かめてください。
∅ はどういう意味ですか。: ∅ は空集合、つまり要素を1つも持たない集合です。{} とも書けます。空集合はすべての集合の部分集合です。ほかの集合に欠けているかもしれない要素を1つも持たないからです。{∅} は空ではないことに注意してください。要素を1つ持つ集合で、その要素が空集合なのです。
⊂ と ⊆ の違いは何ですか。: ⊆ は「の部分集合である」という意味で、2つの集合が等しい場合も認めます。⊂ はふつう真部分集合、つまりもう一方の集合より小さい部分集合を表します。ここは本によって違い、⊂ をすべての部分集合に使い、真部分集合を表すときは ⊊ と書く本もあります。区別が大事なときは、自分の授業がどちらの約束を使っているか確かめてください。