相関係数

2つの測定値を並べてみます。睡眠時間と反応時間、あるいは気温とアイスクリームの売上。一方をもう一方に対してプロットすると、点が左から右へ上がっていくこともあれば、下がっていくこともあり、形のない雲になることもあります。相関係数 r は、その印象を -1 から 1 までの1つの数にします。

下の点をドラッグしてください。2本の破線は x の平均と y の平均を示し、各点はそれに対してどこにあるかで色分けされています。まず3つのプリセットを試し、それから1つの点を残りから遠くへ引っぱって、r がどうなるかを見てください。

この数が語ること

r はつねに -1 から 1 の間にあり、2つの別々の情報を持っています。

符号は向きです。r が正なら、x が大きいほど y も大きい傾向があります。r が負なら、x が大きいほど y は小さい傾向があります。傾向の急さについては何も語りません。ゆるやかに上がる直線も、急に上がる直線も、どちらも r = 1 になりえます。

大きさは、点がどれだけぴったり直線に寄り添っているかです。ちょうど 1 か -1 なら、すべての点が1本の直線上にあります。0 なら、直線的な傾向はまったくありません。

上の図は、多くの教科書が使う区切りで r に判定をつけています。

この境界は慣習であって定理ではありません。結果を言葉で表すのに便利で、分野ごとにずれます。ちょうど比例するはずの2つの量の間に r = 0.9 を測った物理学者は問題を抱えていますが、2つの特性の間に r = 0.4 を見つけた心理学者は結果を手にしています。

公式はどこから来るのか

各点は、2本の平均の破線がつくる4つの領域のどれかにあります。中心から右上にある点は、x が平均より上で y も平均より上です。左上なら x は下で y は上です。公式全体はこの図の上に組み立てられています。

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

まず分子を見てください。各点について、x が平均からどれだけ離れているかと、y が平均からどれだけ離れているかを掛けます。右上と左下の領域では2つの距離の符号が同じなので、積は正です。残りの2つの領域では符号が違うので、積は負です。積を合計すると、その符号が r の符号になります。だから図の色は数値より先に向きを教えてくれるのです。青い点は r を押し上げ、オレンジの点は引き下げます。

分母は尺度を合わせるだけです。x のばらつきと y のばらつきで割るので、結果は単位に左右されず、どちらの向きにも 1 を超えません。

手で計算する

5つの点をとります。x = 1, 2, 3, 4, 5、y = 2, 4, 5, 4, 5 です。x の平均は 3、y の平均は 4 です。

したがって r = 6/√60 = √15/5 で、およそ 0.7746、強い正の相関です。

正確な答えが平方根であることに注目してください。ここでは r² はちょうど 3/5 という普通の分数になり、r はその平方根に分子の符号をつけたものです。だから相関係数の計算ツールは、丸めた小数だけでなく、r を根号の形で表示し、隣に小数を添えます。

多くの教科書は、先に平均を引かずに、和だけで計算できる形の同じ公式を載せています。

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

同じ5点では n = 5、Σx = 15、Σy = 20、Σxy = 66、Σx² = 55、Σy² = 86 です。分子は 5 × 66 − 15 × 20 = 30、分母の2つのかっこは 50 と 30 なので、r = 30 / √1500、やはり √15/5 です。

r と r²

r を2乗すると r²、決定係数になります。上の5点では r² = 0.6 です。これは割合として読みます。これらの点を通る回帰直線が y の変動の 60% を説明し、残りの 40% は直線では説明できないばらつきです。

2つの数は別々の問いに答えます。r は向きと強さを同時に教えてくれるので、関係を記述したいときに使います。r² は符号を落とすので、r = -0.9 も r = 0.9 も 0.81 になり、直線がどれだけ説明するかが問われているときに引用する数です。また r が 0 か ±1 でないかぎり、r² はつねに |r| より小さいので、まずまずに聞こえる r = 0.5 も r² では 0.25、つまり直線が説明するのは変動の4分の1です。

相関は因果ではない

強い r が示すのは、このデータで2つの量がいっしょに動くということです。その理由は語りません。そして、一方が他方の原因であることとは無関係な、よくある理由が3つあります。

• 第3の量が両方を動かしている。 アイスクリームの売上と水の事故はいっしょに増減します。暑い天気が両方の原因です。
• 因果が逆向き。 風の強い日ほど風車は速く回ります。風が風車を回すのであって、風車が風を起こすのではありません。
• 偶然。 無関係な系列を十分たくさん比べれば、たまたまそろうものが出てきます。数年分のデータしかないときは特にそうです。

x が y の原因であることを示すには、相関が与えられないものが必要です。管理された実験か、ほかの可能性を排除する仕組みについての議論です。

r に見えないもの

この数は要約で、要約はものを隠します。知っておく価値のあることが3つあります。

曲線。 点 (-2, 4)、(-1, 1)、(0, 0)、(1, 1)、(2, 4) はちょうど y = x^2 の上にあり、相関係数はちょうど 0 です。左半分は下がり、右半分は上がり、積が打ち消し合います。r が測るのは直線的な関係だけなので、完全な曲線でも何も得点できないのです。

外れ値。 上の5点(r ≈ 0.7746)から始めて、点 (10, 0) を1つ加えます。新しい r はおよそ -0.5529 です。1点で符号が逆転しました。逆向きにも起こります。x = 1〜5、y = 3, 1, 4, 1, 5 は弱い相関 r ≈ 0.3536 ですが、(12, 12) に1点加えるだけで、ほかの5点をまったく変えずにおよそ 0.9084 まで上がります。図で両方を試してください。1つの点を隅までドラッグして r を見ます。

関係ないもの。 単位を変えても r は変わりません。x をメートルではなくセンチメートルで測っても、すべての x を 10 倍しても、r は √15/5 のままです。どちらの変数を x にし、どちらを y にするかを入れ替えても r は変わりません。入れ替えると変わる回帰直線とは違います。

ですから r を引用する前に散布図を見て、当てはめた直線の残差に、数値が隠してしまうパターンがないか確かめてください。

ひとつ試す

2つの量の相関係数が r = -0.9 です。r の2乗はいくつですか。

r が負でも答えは正で、0.9 より小さくなります。-0.81 になったなら符号を2乗の中に持ち込んでいます。0.9 になったなら2乗を忘れています。自分のデータの r を求めるには、2つの列を相関係数の計算ツールに貼り付けてください。和の表と、数を入れた公式を表示します。