Coeficiente de correlação
Um número entre -1 e 1 que diz o quanto uma nuvem de pontos se agarra a uma reta, e em que direção. Arraste os pontos e veja o número mudar antes de aprender a fórmula.
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Coloque duas medidas lado a lado, horas de sono e tempo de reação, ou temperatura e venda de sorvete, e desenhe uma contra a outra. Às vezes os pontos sobem da esquerda para a direita, às vezes descem, às vezes formam uma nuvem sem forma. O coeficiente de correlação r transforma essa impressão em um número entre -1 e 1.
Arraste os pontos abaixo. As duas linhas tracejadas marcam a média de x e a média de y, e cada ponto tem a cor da região em que está em relação a elas. Experimente primeiro os três exemplos prontos, depois puxe um único ponto para longe dos outros e veja o que ele faz com r.
Arraste os pontos. Os pontos azuis puxam r para cima e os laranja o puxam para baixo: cada um tem a cor do lado das duas médias tracejadas em que está.
O que o número diz
r fica sempre entre -1 e 1 e carrega duas informações separadas.
O sinal é a direção. r positivo significa que, quando x é maior, y tende a ser maior também. r negativo significa que, quando x é maior, y tende a ser menor. Ele não diz nada sobre quão íngreme é a tendência: uma reta que sobe devagar e uma que sobe rápido podem ter r = 1.
O tamanho é o quanto os pontos se agarram a uma reta. Em exatamente 1 ou -1 todos os pontos estão sobre uma reta. Em 0 não há nenhuma tendência linear.
O gráfico acima classifica r com os limites que a maioria dos livros usa:
| tamanho de r | classificação | como fica o diagrama de dispersão |
|---|---|---|
| exatamente 1 | perfeita | todos os pontos sobre uma reta |
| 0,7 ou mais | forte | uma faixa clara e estreita |
| de 0,4 até 0,7 | moderada | uma tendência visível com bastante dispersão |
| de 0,1 até 0,4 | fraca | uma inclinação que passaria despercebida sem o número |
| abaixo de 0,1 | nenhuma | nenhuma tendência linear |
Esses limites são uma convenção, não um teorema. Servem para descrever um resultado em palavras, e cada área os desloca: um físico que mede r = 0,9 entre duas grandezas que deveriam ser exatamente proporcionais tem um problema, enquanto um psicólogo que encontra r = 0,4 entre dois traços tem um resultado.
De onde vem a fórmula
Cada ponto fica numa de quatro regiões formadas pelas duas médias tracejadas. Um ponto acima e à direita do centro tem x acima da média e y acima da média. Acima e à esquerda, x está abaixo e y está acima. A fórmula inteira se apoia nessa imagem:
r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)
Olhe primeiro o numerador. Para cada ponto, multiplique a distância de x até a média de x pela distância de y até a média de y. Nas regiões de cima à direita e de baixo à esquerda as duas distâncias têm o mesmo sinal, então o produto é positivo. Nas outras duas regiões os sinais são diferentes e o produto é negativo. Somar os produtos dá um total cujo sinal é o sinal de r, e é por isso que as cores do gráfico mostram a direção antes do número: os pontos azuis empurram r para cima e os laranja o puxam para baixo.
O denominador só ajusta a escala. Ele divide pela dispersão de x e pela dispersão de y, então o resultado deixa de depender das unidades e não pode passar de 1 em nenhuma das direções.
Calculando à mão
Pegue cinco pontos: x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5. A média de x é 3 e a média de y é 4.
| x | y | x - 3 | y - 4 | produto | (x - 3)² | (y - 4)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 5 | 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| total | 6 | 10 | 6 |
Então r = 6/√60 = √15/5, que é cerca de 0,7746: uma correlação positiva forte.
Repare que a resposta exata é uma raiz quadrada. Aqui r² dá exatamente 3/5, uma fração simples, e r é a raiz dela com o sinal do numerador. É por isso que a calculadora de coeficiente de correlação imprime r como radical com o decimal ao lado, e não só um decimal arredondado.
Muitos livros trazem a mesma fórmula numa forma que só precisa de somas acumuladas, sem subtrair as médias antes:
r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))
Para os mesmos cinco pontos, n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 e Σy² = 86. O numerador é 5 × 66 menos 15 × 20 = 30, e os dois parênteses do denominador são 50 e 30, então r = 30 / √1500, o mesmo √15/5.
r e r ao quadrado
Eleve r ao quadrado e você obtém r², o coeficiente de determinação. Para os cinco pontos acima, r² = 0,6. Ele se lê como uma parte: a reta de melhor ajuste por esses pontos explica 60% da variação de y, e os outros 40% são dispersão que a reta não consegue explicar.
Os dois números respondem a perguntas diferentes. r diz a direção e a força juntas, que é o que você quer ao descrever uma relação. r² perde o sinal, então r = -0,9 e r = 0,9 dão os dois 0,81, e é o número a citar quando a pergunta é quanto uma reta explica. Ele também é sempre menor que |r|, a não ser que r seja 0 ou ±1, então um r de 0,5 que parece respeitável vira um r² de 0,25: a reta explica um quarto da variação.
Correlação não é causalidade
Um r forte diz que duas grandezas variam juntas nestes dados. Ele não diz por quê, e há três motivos comuns que não têm nada a ver com uma causar a outra.
- Uma terceira grandeza move as duas. A venda de sorvete e os afogamentos sobem e descem juntos. O calor causa os dois.
- A causa vai no sentido contrário. Os cata-ventos giram mais rápido nos dias de vento mais forte. O vento faz os cata-ventos girarem; os cata-ventos não fazem o vento.
- Coincidência. Compare séries sem relação suficientes e algumas vão se alinhar por acaso, principalmente ao longo de poucos anos.
Mostrar que x causa y exige algo que a correlação não pode dar: um experimento controlado, ou um argumento sobre o mecanismo que descarte as alternativas.
O que r não enxerga
O número é um resumo, e um resumo esconde coisas. Vale conhecer três.
Curvas. Os pontos (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) estão exatamente sobre y = x^2, e o coeficiente de correlação deles é exatamente 0. A metade esquerda desce, a metade direita sobe, e os produtos se cancelam. r só mede relações lineares, então uma curva perfeita pode não marcar nada.
Pontos atípicos. Comece com os cinco pontos acima, r ≈ 0,7746, e acrescente um único ponto em (10, 0). O novo r é cerca de -0,5529. Um ponto inverteu o sinal. Funciona no outro sentido também: x = 1 a 5 com y = 3, 1, 4, 1, 5 tem um r fraco de ≈ 0,3536, e acrescentar um ponto em (12, 12) o eleva a cerca de 0,9084 sem mudar os outros cinco. Experimente os dois no gráfico: arraste um ponto para um canto e observe r.
O que não importa. Trocar as unidades não muda r. Meça x em centímetros em vez de metros, ou multiplique cada x por 10, e r continua sendo √15/5. Trocar qual variável é x e qual é y também não muda r, ao contrário da reta de melhor ajuste, que muda quando você as troca.
Então olhe o diagrama de dispersão antes de citar r, e confira os resíduos da reta ajustada em busca de um padrão que o número esconderia.
Tente um
A resposta é positiva mesmo com r negativo, e é menor que 0,9. Se você obteve -0,81, o sinal foi levado para dentro do quadrado; se obteve 0,9, o quadrado ficou para trás. Para achar r com os seus próprios dados, cole as duas colunas na calculadora de coeficiente de correlação, que mostra a tabela de somas e a fórmula preenchida.
Perguntas frequentes
- O que é o coeficiente de correlação?
- O coeficiente de correlação r, também chamado de r de Pearson, é um número entre -1 e 1 que mede o quanto duas grandezas seguem uma relação linear. O sinal dá a direção: positivo quando y tende a subir junto com x, negativo quando tende a cair. O tamanho dá a força: perto de 1 ou -1 os pontos ficam perto de uma reta, perto de 0 não há nenhum padrão linear.
- Como se calcula o coeficiente de correlação?
- Subtraia a média de x de cada x e a média de y de cada y. Multiplique as duas diferenças de cada par e some os produtos. Divida esse total pela raiz quadrada de (soma dos quadrados das diferenças de x) vezes (soma dos quadrados das diferenças de y). Para x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 os produtos somam 6 e os quadrados somam 10 e 6, então r = 6 / √60 = √15/5, cerca de 0,7746.
- O que é um coeficiente de correlação forte?
- Uma convenção comum, e a que o gráfico desta página usa, chama |r| de 0,7 ou mais de forte, de 0,4 até 0,7 de moderada, de 0,1 até 0,4 de fraca e qualquer valor abaixo de 0,1 de sem correlação linear. Esses limites são um costume, não uma lei. Na física um r de 0,9 pode decepcionar; em psicologia ou economia 0,4 pode ser um resultado notável.
- Qual a diferença entre r e r ao quadrado?
- r guarda a direção e r² não. r² é a parte da variação de y que a reta explica, então r = 0,7746 significa r² = 0,6, e a reta explica 60% do quanto y varia. Um r de -0,9 e um r de 0,9 dão os dois r² = 0,81: igualmente apertados, em direções opostas.
- O coeficiente de correlação pode ser maior que 1?
- Não. r fica sempre entre -1 e 1, e só chega a um dos extremos quando todos os pontos estão exatamente sobre uma reta. Se você calculou um r de 1,2, uma soma da tabela está errada; o culpado de sempre é elevar a soma de x ao quadrado em vez de somar os quadrados de x.
- Correlação implica causalidade?
- Não. Um r forte diz que duas grandezas variam juntas nos dados que você tem. Ele não diz qual move a outra, nem se uma terceira grandeza move as duas. A venda de sorvete e os afogamentos sobem juntos porque o calor aumenta os dois; nenhum causa o outro. Estabelecer uma causa exige um experimento ou um argumento cuidadoso sobre o mecanismo, não uma correlação.
- Por que r = 0 não significa que não há relação?
- r só mede relações lineares. Os pontos (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) estão exatamente sobre y = x², uma relação perfeita, e o coeficiente de correlação deles é exatamente 0, porque a metade esquerda que desce cancela a metade direita que sobe. Olhe sempre o diagrama de dispersão antes de confiar no número.
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