Forma ponto-inclinação
A forma reduzida precisa do único ponto que quase nenhum enunciado dá. A ponto-inclinação aceita o ponto que você realmente recebeu - e é por isso que é a primeira a usar.
Última atualização
Quase toda questão sobre retas dá um ponto e uma inclinação, ou dois pontos. Quase nenhuma dá o ponto onde a reta corta o eixo y. E, no entanto, y = mx + b costuma ser a única forma que as pessoas sabem escrever - então gasta-se uma linha e meia isolando um b que ninguém pediu.
A forma ponto-inclinação pula isso. Arraste o ponto abaixo e veja a equação segui-lo.
Arraste o ponto para onde quiser. A equação se reescreve em torno do ponto onde você parar - a reta não precisa cruzar o eixo y num número inteiro.
De onde vem a fórmula
A inclinação é a subida sobre o avanço entre dois pontos quaisquer da reta. Fixe um deles num ponto que você conhece, (x₁, y₁), e deixe o outro ser um ponto genérico (x, y). Então
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Multiplique os dois lados por x - x₁ e a fração some:
y - y₁ = m(x - x₁)
É essa a dedução inteira. A forma ponto-inclinação não é uma ideia nova - é a fórmula da inclinação com a divisão desfeita, e por isso toda a reta a satisfaz e ela funciona a partir de qualquer ponto dela.
As duas subtrações são distâncias a partir do seu ponto
Os dois sinais de menos fazem o mesmo trabalho em eixos diferentes: quanto se anda a partir de x₁ e quanto se sobe a partir de y₁. Lidos assim, os sinais deixam de ser coisa para decorar.
Eles mordem quando uma coordenada é negativa. Uma reta de inclinação 2 passando por (-3, 4) é
y - 4 = 2(x + 3)
porque subtrair -3 é somar 3. Aparecer um sinal de mais ali não é erro; escrever x - 3 é.
Mova o ponto da figura para o terceiro quadrante e veja os dois sinais virarem. É a parte desta forma que mais gera respostas erradas, e trinta segundos olhando resolvem melhor do que uma regra.
Dois pontos, uma reta
Dados (1, 1) e (4, 7): ache a inclinação primeiro e depois coloque qualquer um dos pontos.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Usando o primeiro ponto sai y - 1 = 2(x - 1). Usando o segundo sai y - 7 = 2(x - 4). Elas não se parecem em nada e são a mesma reta: desenvolva qualquer uma e você chega a y = 2x - 1.
Vale confiar nisso em vez de duvidar. Se a sua resposta discorda do gabarito, desenvolva as duas antes de supor que você errou.
Passando para a forma reduzida
Quando a questão realmente quer y = mx + b, a conversão são dois movimentos: abrir o parêntese e isolar o y.
Partindo de y - 3 = 2(x - 1): abrindo dá y - 3 = 2x - 2, e somando 3 nos dois lados fica y = 2x + 1.
O b em que você nunca precisou pensar aparece no fim - e é esse o ponto. O trabalho foi da ponto-inclinação; a forma reduzida é só o formato.
Tente um
O escorregão mais comum aqui é abrir 2(x - 1) como 2x - 1. O 2 precisa alcançar os dois termos dentro do parêntese, que é a propriedade distributiva fazendo o trabalho de sempre.
Qual forma para qual questão
| você recebeu | use |
|---|---|
| um ponto e uma inclinação | ponto-inclinação |
| dois pontos | a inclinação entre eles e então ponto-inclinação |
| o corte com o eixo y e a inclinação | forma reduzida |
| uma equação para esboçar rápido | forma reduzida |
| uma reta paralela ou perpendicular a outra, por um ponto | ponto-inclinação |
A ponto-inclinação é a forma de escrever uma reta; a reduzida é a forma de ler uma. A maioria dos problemas precisa das duas, nessa ordem.
Perguntas frequentes
- O que é a forma ponto-inclinação?
- A equação y - y1 = m(x - x1), em que m é a inclinação e (x1, y1) é qualquer ponto pelo qual a reta passa. É a tradução direta da fórmula da inclinação: a subida a partir do ponto conhecido dividida pelo avanço a partir dele vale sempre m, e multiplicar pelos dois lados por esse avanço elimina a fração.
- Quando usar ponto-inclinação em vez da forma reduzida?
- Sempre que o ponto dado não for o corte com o eixo y - ou seja, quase sempre. A forma reduzida precisa do b, então partindo de um ponto qualquer é preciso isolar b antes. Com ponto-inclinação você escreve a resposta na hora e reorganiza depois, se o enunciado pedir.
- Como acho a equação da reta que passa por dois pontos?
- Calcule a inclinação primeiro: a diferença dos y sobre a diferença dos x. Depois escolha qualquer um dos dois pontos - qualquer um mesmo - e coloque na forma ponto-inclinação. Só é preciso reorganizar se o enunciado exigir uma forma específica.
- Por que as duas operações são subtrações?
- Porque as duas são diferenças medidas a partir do ponto conhecido: quanto se anda a partir de x1 e quanto se sobe a partir de y1. Quando a coordenada é negativa, a subtração vira soma, e é aí que quase todo erro acontece: um ponto em (-3, 4) dá y - 4 = m(x + 3), e esse sinal de mais está certo.
- Importa qual dos dois pontos eu use?
- Não. As duas equações parecem diferentes e descrevem exatamente a mesma reta: reorganize as duas para a forma reduzida e elas ficam idênticas. Quase todo professor aceita qualquer uma, mas se o enunciado pede uma forma, reorganizar encerra a discussão.
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