Multiplicar frações
Multiplicar frações é a mais fácil das quatro operações e é ensinada como a confusa, porque a regra chega sem nenhuma razão anexada. A razão é um quadrado cortado em duas direções.
Última atualização
Das quatro coisas que você pode fazer com um par de frações, multiplicar é de longe a mais fácil: multiplique os numeradores, multiplique os denominadores, pronto. Sem denominador comum, sem inverter, sem reorganizar.
O que levanta a pergunta que quase toda página pula. Somar frações exige que os denominadores combinem. Por que multiplicar não exige?
Os dois cortes seguem direções diferentes, por isso nunca precisam concordar - é por isso que multiplicar não exige denominador comum. A resposta é a sobreposição.
A resposta é a sobreposição
O quadrado é um todo. A primeira fração o corta em colunas e sombreia algumas; a segunda o corta em linhas e sombreia algumas delas. O retângulo com sombreado forte é onde os dois sombreados se sobrepõem, e esse retângulo é a resposta.
Com 3/4 e 2/3 o quadrado fica cortado em 4 colunas e 3 linhas, o que dá 12 células pequenas. A sobreposição cobre 3 colunas por 2 linhas, ou seja 6 células. Seis de doze:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
Os dois números de cima se multiplicaram porque a sobreposição mede tantas células de largura por tantas de altura. Os dois de baixo se multiplicaram porque o quadrado inteiro foi cortado em tantas células no total. Nada mais poderia acontecer.
E agora a pergunta do denominador comum se responde sozinha. Os dois cortes seguem direções diferentes, então nunca precisam concordar. Somar precisa de peças iguais porque você está contando peças juntas; aqui você não conta nada junto, você pega uma parte de uma parte.
Significa a palavra "de"
Leia o sinal de vezes como de e multiplicar frações deixa de precisar ser memorizado:
- a metade de uma metade é um quarto — 1/2 * 1/2 = 1/4
- dois terços de três quartos é uma metade — 2/3 * 3/4 = 1/2
- um terço de 60 é 20 — 1/3 * 60 = 20
É também a razão pela qual um enunciado como "três quintos da turma de 30" é uma multiplicação e não algo mais complicado.
Uma consequência pega as pessoas. Multiplicar por uma fração abaixo de 1 reduz, porque você está pegando uma parte dela. 3/4 * 8 = 6, e 6 é menos que 8. Não é erro; é o que "três quartos de" significa.
Inteiros e números mistos
Um número inteiro é uma fração com 1 embaixo, e escrito assim a mesma regra o cobre:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Um número misto precisa se tornar fração imprópria primeiro, porque não há jeito de multiplicar a parte inteira e a fracionária separadamente e acertar. 2 + 1/2 é 5/2, então
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Se você se sentir tentado a multiplicar o 2 pelo 2 e depois as metades pelos terços, tente com 2 1/2 vezes 2 1/2: a resposta honesta é 6 1/4, e o atalho dá 4 1/4.
Simplifique antes e os números ficam pequenos
Como todo o produto é uma única fração, qualquer numerador pode ser simplificado com qualquer denominador antes de multiplicar. Tome 3/4 * 8/9:
- o 3 e o 9 têm o fator 3 em comum, sobrando 1 e 3
- o 4 e o 8 têm o fator 4 em comum, sobrando 1 e 2
o que deixa 1/1 * 2/3 = 2/3 — a resposta certa, sem nunca escrever 72. Multiplicar primeiro dá 24/36, que se reduz ao mesmo 2/3 com um pouco mais de trabalho. Simplificar cedo não é outro método, apenas menos aritmética.
Tente uma
Se você chegou a 10/12, é a quantidade certa escrita na forma errada: simplifique. Se procurou um denominador comum, esse passo pertence à soma, e esta página é a razão de ele poder ser pulado aqui.
Perguntas frequentes
- Como se multiplicam frações?
- Multiplique os dois numeradores entre si e os dois denominadores entre si, e depois simplifique. Assim 3/4 x 2/3 = 6/12, que é 1/2. Não há passo de denominador comum nem inversão: isso pertence à soma e à divisão.
- Por que não é preciso denominador comum para multiplicar?
- Porque as duas frações cortam o todo em direções diferentes. Somar exige que as peças tenham o mesmo tamanho para poderem ser contadas juntas; multiplicar pega uma fração DE outra fração, então um corte atravessa o outro e eles nunca precisam concordar. No quadrado acima, uma fração corta colunas e a outra corta linhas.
- O que multiplicar frações significa de verdade?
- Significa "de". A metade de uma metade é um quarto, e é exatamente o que 1/2 x 1/2 = 1/4 diz. Ler o sinal de vezes como a palavra "de" transforma quase todo problema com enunciado em uma conta óbvia: dois terços de 3/4 é 2/3 x 3/4.
- Como se multiplica uma fração por um número inteiro?
- Escreva o inteiro sobre 1 e siga normalmente. 4/5 x 10 se torna 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Vale notar que a resposta ficou maior, porque multiplicar por um número acima de 1 sempre aumenta, enquanto multiplicar por uma fração abaixo de 1 sempre reduz.
- Posso simplificar antes de multiplicar?
- Sim, e normalmente é mais fácil. Qualquer numerador pode ser simplificado com qualquer denominador antes da multiplicação, porque todo o produto é uma única fração. Em 3/4 x 8/9 o 3 e o 9 têm o fator 3 em comum e o 4 e o 8 têm o 4, sobrando 1/1 x 2/3 = 2/3 sem nunca escrever um número grande.
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