O triângulo 30-60-90
Apenas dois triângulos têm razões de lados exatas o bastante para serem escritas, e por isso são os únicos que dá para resolver de cabeça. Os dois saem de cortar ao meio uma figura que você já conhece.
Última atualização
Todo triângulo retângulo tem razões entre seus lados. Em quase todos, essas razões são decimais feios que exigem calculadora. Em exatamente dois, elas são expressões exatas e curtas que você consegue escrever - e é por isso que aparecem em questão após questão.
Alterne entre eles abaixo e mude também o tamanho.
Mova o controle. Todos os lados mudam e os três ângulos não - é por isso que uma única proporção memorizada resolve um triângulo de qualquer tamanho.
De onde vem o 30-60-90
Comece com um triângulo equilátero: três lados iguais, três ângulos de 60°. Corte bem no meio, do vértice de cima até o ponto médio da base.
O corte é perpendicular à base, então você tem um ângulo reto. Um dos ângulos de 60° da base sobrevive intacto. O de 60° do topo é dividido ao meio, virando 30°. Esse é o seu triângulo 30-60-90, e ele veio de uma figura cujos lados você já conhecia.
Agora leia os lados. Se o equilátero tinha lados 2, a hipotenusa da metade continua sendo 2 e a base foi reduzida a 1. A altura sai de Pitágoras:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, logo h = sqrt(3).
Lados 1, sqrt(3) e 2 - essa é a razão, e ela é exata porque veio de uma construção exata e não de uma medição.
Qual lado fica onde
A regra que evita a maioria dos erros: o maior lado fica oposto ao maior ângulo.
| ângulo | lado | comprimento |
|---|---|---|
| 30° | cateto curto | x |
| 60° | cateto longo | x√3 |
| 90° | hipotenusa | 2x |
Então a hipotenusa é o dobro do lado curto, nunca do longo. E como sqrt(3) vale cerca de 1,73, o cateto longo fica entre os outros dois - o que serve como conferência rápida de qualquer resposta.
O 45-45-90 é um quadrado cortado ao meio
Mesmo truque, outra figura. Pegue um quadrado de lado 1 e corte pela diagonal. Os dois ângulos restantes são de 45°, os dois catetos são iguais e a diagonal é a hipotenusa:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, logo d = sqrt(2).
Razão 1 : 1 : sqrt(2). Esse aparece onde quer que haja quadrados: diagonais de telas, ladrilhos, tabuleiros de xadrez.
Achar um lado que falta
Volte sempre ao lado curto e depois escale.
Dada a hipotenusa. Um 30-60-90 com hipotenusa 14: divida por dois, o lado curto é 7, e o cateto longo é 7sqrt(3).
Dado o cateto longo. Um 30-60-90 com cateto longo 9: divida por sqrt(3) e o lado curto é 3sqrt(3), então a hipotenusa é 6sqrt(3).
Dado um cateto de um 45-45-90. O outro cateto é igual, e a hipotenusa é esse cateto vezes sqrt(2).
Mexa no controle da figura enquanto lê isso - a aritmética acima é só a leitura em três tamanhos diferentes.
Tente um
Um triângulo 30-60-90 tem lado curto 6. Quanto mede o cateto longo?
Deixe como 6sqrt(3) e não como 10,39. A forma exata é a que o passo seguinte de um problema consegue usar, e é a que o corretor procura.
Os valores trigonométricos exatos caem prontos
Como esses dois triângulos têm lados exatos, eles têm senos e cossenos exatos - e é daí que vêm os números de qualquer tabela do círculo unitário:
| ângulo | sen | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Três valores distintos em todo o primeiro quadrante, e 30° e 60° são o mesmo par trocado - exatamente o que se espera de um único triângulo lido a partir de seus dois ângulos agudos.
Perguntas frequentes
- Quais são os lados de um triângulo 30-60-90?
- Estão na razão 1 : √3 : 2. O lado mais curto fica oposto ao ângulo de 30 graus, o mais longo é a hipotenusa e mede exatamente o dobro do curto, e o lado restante é o curto vezes a raiz de 3. Todo triângulo 30-60-90 que existe tem essas proporções, seja qual for o tamanho.
- De onde vem a razão do 30-60-90?
- Corte um triângulo equilátero ao meio pela altura. Um dos ângulos de 60 graus da base sobrevive, o de 60 do topo se divide em 30, e o corte cria um ângulo reto. A base também é dividida ao meio, então o lado curto é exatamente metade do lado original - e é por isso que a hipotenusa é o dobro do curto. A altura sai então de Pitágoras.
- Quais são os lados de um triângulo 45-45-90?
- Estão na razão 1 : 1 : √2. Os dois catetos são iguais porque os dois ângulos de 45 graus são iguais, e a hipotenusa é um cateto vezes a raiz de 2 - que é Pitágoras aplicado a um quadrado cortado pela diagonal, porque é exatamente isso que o triângulo é.
- Como acho um lado que falta num triângulo notável?
- Chegue primeiro ao lado curto e depois escale. Se lhe deram a hipotenusa de um 30-60-90, divida por dois para achar o curto; se deram o cateto longo, divida pela raiz de 3. Com o curto conhecido, os outros dois são ele vezes raiz de 3 e vezes 2.
- Por que decorar isso se existe calculadora?
- Porque as respostas são exatas e as da calculadora não são. Uma calculadora dá 8,660254 onde a verdade é 5√3, e um valor exato é o que o passo seguinte precisa: simplificar, cancelar ou deixar a resposta em forma de radical. Além disso, as provas usam esses dois triângulos o tempo todo justamente porque podem ser respondidos sem calculadora.
Agora faça você mesmo, de verdade
Ler a resolução de outra pessoa não é o mesmo que saber fazer. O curso de matemática da Coddy coloca você em um quadro que confere cada movimento, então você descobre onde realmente está.
