Resíduos
Um resíduo é quanto um ponto fica acima ou abaixo da reta de melhor ajuste. Cada um é uma pequena subtração, e juntos eles dizem se a reta presta.
Última atualização
Uma reta de melhor ajuste prevê um valor de y para cada x. A maioria dos pontos não cai exatamente sobre ela, e a diferença entre o que um ponto é de fato e o que a reta diz que ele deveria ser é o resíduo desse ponto. É a grandeza mais simples da regressão, uma única subtração, e ler resíduos é como você distingue uma reta que se ajusta de uma que só parece se ajustar.
Arraste os pontos abaixo. Cada segmento vertical é um resíduo, azul para os pontos acima da reta e laranja para os de baixo, e a tabela lista cada um deles com a soma dos seus quadrados.
| x | y | ŷ previsto | resíduo y − ŷ |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 4 | -2 |
| 4 | 5 | 5 | 0 |
| 5 | 6 | 6 | 0 |
| 6 | 8 | 7 | 1 |
| 8 | 9 | 9 | 0 |
Cada segmento é um resíduo: azul acima da reta, laranja abaixo. Arraste um ponto e veja a soma dos quadrados mudar.
Observado menos previsto
Para um ponto de coordenadas (x, y), a reta prevê um valor escrito ŷ, que se lê "y chapéu". O resíduo é
e = y - ŷ
observado menos previsto, sempre nessa ordem.
Pegue os cinco pontos x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5. A reta de melhor ajuste deles é y = 0.6x + 2.2. Em x = 3 a reta prevê 0,6 × 3 + 2,2 = 4, e o ponto real é (3, 5), então o resíduo é 1. Em x = 1 ela prevê 2,8 e o ponto é (1, 2), então o resíduo é -0,8.
| x | y observado | ŷ previsto | resíduo | resíduo² |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2,8 | -0,8 | 0,64 |
| 2 | 4 | 3,4 | 0,6 | 0,36 |
| 3 | 5 | 4 | 1 | 1 |
| 4 | 4 | 4,6 | -0,6 | 0,36 |
| 5 | 5 | 5,2 | -0,2 | 0,04 |
| total | 0 | 2,4 |
O que o sinal diz
Um resíduo positivo significa que o ponto está acima da reta: o valor real foi maior que o previsto, então a reta o subestimou. Um resíduo negativo significa que o ponto está abaixo da reta e a reta superestimou. Um resíduo zero significa que o ponto está exatamente sobre a reta.
O tamanho está nas unidades de y. Se y é uma nota de prova em pontos, um resíduo de -0,8 significa que o aluno tirou 0,8 ponto a menos do que a reta previa para o x dele.
Por que eles somam zero
Olhe a coluna dos resíduos na tabela: -0,8; 0,6; 1; -0,6 e -0,2 somam exatamente 0. Não é sorte. Isso acontece em toda reta de mínimos quadrados com intercepto.
O intercepto dessa reta é escolhido como b = ȳ - m x̄. Some os resíduos y - (mx + b) sobre todos os n pontos: os valores de y somam nȳ, os termos mx somam mnx̄, e os termos b somam nb. Substitua a fórmula de b e as três partes se cancelam em zero. Em palavras: a reta é posicionada para que os pontos acima e os pontos abaixo dela se equilibrem exatamente.
É também por isso que os resíduos precisam ser elevados ao quadrado antes de medir qualquer coisa. A soma simples deles é sempre 0, para uma reta boa e para uma ruim.
A soma dos quadrados dos resíduos
Eleve cada resíduo ao quadrado e some, e você obtém a soma dos quadrados dos resíduos, muitas vezes escrita SQR (em inglês, SSE). Para os cinco pontos acima ela é 0.64 + 0.36 + 1 + 0.36 + 0.04 = 2.4.
A reta de melhor ajuste é definida como a reta que deixa esse número o menor possível. Qualquer outra reta se sai pior. A reta y = 0.5x + 2.5 também passa pelo ponto das médias (3, 4) e parece quase igual num gráfico, mas seus resíduos são -1; 0,5; 1; -0,5 e 0, e seus quadrados somam 2,5. A reta y = x + 1 dá 4. O mínimo, 2,4, pertence só a y = 0.6x + 2.2.
Elevar ao quadrado tem um efeito colateral que vale conhecer. Um resíduo de 2 contribui com 4 para a soma e um resíduo de 4 contribui com 16, então um ponto longe dos outros puxa a reta inteira para si. Arraste um único ponto para um canto do gráfico acima e veja a soma saltar e a reta inclinar.
Gráficos de resíduos
Um gráfico de resíduos coloca x no eixo horizontal e o resíduo de cada ponto no vertical. A reta ajustada vira a reta horizontal em zero, e a pergunta fica simples: sobrou algum padrão?
Uma faixa sem padrão significa que a reta se ajusta. Resíduos espalhados acima e abaixo de zero sem forma, mais ou menos com a mesma largura em todo x, dizem que a reta capturou a tendência e o que sobra é ruído.
Uma curva significa que uma reta é o formato errado. Ajuste uma reta aos quadrados 0, 1, 4, 9, 16 e 25 em x = 0 a 5 e você obtém y = 5x - 10/3 com r ≈ 0,9599, o que parece um ajuste excelente. Os resíduos contam a verdade:
Eles vão 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3, 10/3: um U. A reta fica alta demais no meio e baixa demais nas pontas, sempre, e é assim que fica qualquer ajuste de uma reta a uma curva. Uma parábola se ajusta exatamente a esses pontos, que é o que a calculadora de regressão quadrática encontraria.
Um leque significa que a dispersão cresce. Se os resíduos são pequenos numa ponta e grandes na outra, a reta pode até estar certa em média, mas suas previsões ficam menos precisas à medida que x cresce. Dados que crescem em porcentagem, como preços ou populações, muitas vezes têm essa cara, e um modelo exponencial é a próxima coisa a tentar.
Resíduos e pontos atípicos
Um ponto com resíduo muito grande, bem acima ou abaixo da reta em comparação com os outros, é um ponto atípico em y. Ele merece uma segunda olhada: pode ser um erro de digitação, ou um caso que é mesmo diferente.
Um ponto muito à esquerda ou à direita do resto é outro tipo de problema. Como a reta gira em torno do ponto das médias, um ponto distante em x tem uma alavanca longa e pode arrastar a reta para si, o que pode deixá-lo com um resíduo pequeno mesmo tendo sido o que mais mudou a reta. Então um resíduo pequeno não prova que um ponto é comum. No gráfico acima, arraste o ponto mais à direita direto para baixo e veja a reta ir atrás dele.
Tente um
A reta prevê 4,6 e o ponto está em 4, então o ponto fica 0,6 abaixo da reta. Se você obteve 0,6, a subtração foi feita ao contrário: é sempre observado menos previsto. Para os seus próprios dados, a calculadora de regressão linear dá a reta e a soma dos quadrados dos resíduos, e a página do coeficiente de correlação mostra o que a força do ajuste significa em um único número.
Perguntas frequentes
- O que é um resíduo?
- A distância vertical de um dado até a reta ajustada: o y observado menos o y que a reta prevê naquele x. Se um ponto é (3, 5) e a reta prevê 4 em x = 3, o resíduo é 5 menos 4 = 1.
- Como se calcula um resíduo?
- Coloque o x do ponto na equação da reta para obter o valor previsto, depois subtraia essa previsão do y real do ponto. Resíduo = observado menos previsto. A ordem importa: previsto menos observado dá o mesmo tamanho com o sinal errado.
- O que significa um resíduo negativo?
- O ponto está abaixo da reta, então a reta previu um valor maior que o observado: ela superestimou. Um resíduo positivo significa que o ponto está acima da reta e a reta subestimou. Um resíduo 0 significa que o ponto está exatamente sobre a reta.
- Por que os resíduos somam zero?
- Numa reta de mínimos quadrados com intercepto, eles sempre somam. O intercepto é escolhido como b = média de y menos m vezes a média de x, o que coloca a reta sobre o ponto das médias, e somar y menos (mx + b) sobre todos os pontos dá então n vezes a média de y, menos m vezes n vezes a média de x, menos n vezes b, que é exatamente 0.
- Como deve ser um bom gráfico de resíduos?
- Uma faixa horizontal sem padrão em torno de zero, mais ou menos tão larga à esquerda quanto à direita. Uma curva nos resíduos (um U ou um U invertido) significa que uma reta é o formato errado para os dados. Um leque que se abre ao longo do gráfico significa que as previsões ficam menos confiáveis à medida que x cresce.
- O que é a soma dos quadrados dos resíduos?
- Eleve cada resíduo ao quadrado e some. Ela mede o quanto os pontos ficam longe da reta no geral, e é a quantidade que o método dos mínimos quadrados deixa a menor possível. Para x = 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 a reta de mínimos quadrados tem soma dos quadrados dos resíduos igual a 2,4, e qualquer outra reta dá mais.
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