Notação de intervalos
Não há como raciocinar de "o 3 está incluído" até "use um colchete" - é convenção. O que faz isso grudar é ver as três notações se movendo juntas.
Última atualização
Notação de intervalos não é difícil. É arbitrária, o que é pior. Não existe argumento que leve de "o 3 pertence a este conjunto" até "então use um colchete" - alguém escolheu, e agora você precisa saber.
O que realmente faz isso grudar é ver as três maneiras de escrever um conjunto se moverem ao mesmo tempo. Arraste um extremo abaixo e depois alterne entre incluído e excluído.
Mova um extremo e depois alterne entre incluído e excluído. O colchete muda de forma e o ponto se preenche - são duas grafias do mesmo fato.
Os dois parênteses
Todo intervalo é escrito com o menor extremo primeiro e o maior depois, e cada extremo carrega uma de duas marcas:
| o que você quer dizer | desigualdade | notação | na reta |
|---|---|---|---|
| o extremo entra | x <= 7 | 7] | bolinha cheia |
| o extremo não entra | x < 7 | 7) | bolinha vazia |
É essa a convenção inteira. O resto é contabilidade.
Então -2 <= x < 5 - duas ideias e meia numa linha - vira
[-2, 5). O colchete da esquerda diz que -2 está no conjunto; o parêntese da
direita diz que 5 não está.
Uma checagem útil: o formato do parêntese aponta para o mesmo lado que o sinal. O colchete tem uma ponta reta e fechada, como o tracinho embaixo do sinal ≤. O parêntese é aberto e arredondado, como o < sozinho.
O infinito é sempre aberto
x > 3 não tem extremo superior, então se escreve (3, ∞).
Repare no parêntese à direita. Não é escolha estilística - é obrigatório. Um
colchete significa "este extremo está no conjunto", e infinito não é número,
logo não pode estar em nada. Escrever [3, ∞] afirma que algum valor é
infinito, e é por isso que todo livro marca como errado.
O mesmo do outro lado: x <= 5 é (-∞, 5] - aberto contra o infinito, fechado contra o 5.
Dois trechos de uma vez
Alguns conjuntos não são uma peça só. "Tudo abaixo de -2 ou acima de 5" não cabe num intervalo, porque os números do meio não pertencem. Junte as peças com uma união:
(-∞, -2) ∪ (5, ∞)
Escreva sempre a peça da esquerda primeiro, e nunca ao contrário como [5, -2].
O primeiro número de um intervalo é o menor, então um intervalo invertido não
descreve nada.
Essa forma aparece principalmente em domínios. O domínio de 1/(x-3) é todo número exceto 3, que em intervalos é (-∞, 3) ∪ (3, ∞) - a reta com um ponto furado.
De uma desigualdade a um intervalo
A maioria das questões entrega uma desigualdade para resolver e depois quer a resposta como intervalo, então as duas metades pesam igual. Resolva primeiro:
A resposta é x < 5. Não há extremo inferior e o 5 fica de fora, então em notação de intervalos isso é (-∞, 5).
Uma armadilha durante a resolução: multiplicar ou dividir por um negativo inverte o sinal. -3x <= 12 vira x >= -4, não x <= -4 - e se a inversão passar batida, o intervalo aponta exatamente para o lado errado.
Tente um
Depois diga a resposta em voz alta como intervalo antes de seguir. Saber resolver e saber escrever são duas habilidades distintas, e é na segunda que os pontos se perdem.
Perguntas frequentes
- O que é notação de intervalos?
- Um jeito curto de escrever um trecho da reta numérica. Você dá os dois extremos em ordem, o menor primeiro, e o tipo de parêntese diz se cada extremo pertence ao conjunto: colchete inclui, parêntese exclui. Assim [2, 7) significa tudo de 2 até 7 sem incluir o 7.
- Quando uso colchete e quando uso parêntese?
- Colchete para um extremo que pertence ao conjunto, parêntese para um que não pertence. Isso casa direto com o sinal da desigualdade: menor ou igual leva colchete, estritamente menor leva parêntese. Na reta numérica a mesma distinção é uma bolinha cheia contra uma vazia.
- Por que o infinito sempre leva parêntese?
- Porque infinito não é número, então nada pode ser igual a ele. Um extremo só recebe colchete quando o conjunto contém aquele valor, e nenhum conjunto contém o infinito. Por isso se escreve (-∞, 5] ou [3, ∞) - nunca colchete encostado no símbolo de infinito.
- Como escrevo dois trechos separados?
- Junte-os com o símbolo de união ∪, escrevendo primeiro o trecho da esquerda: (-∞, -2) ∪ (5, ∞) é tudo abaixo de -2 junto com tudo acima de 5. É assim que uma desigualdade com "ou" aparece em notação de intervalos, e isso surge o tempo todo em domínios onde um valor precisa ser excluído.
- Qual a diferença para a notação de conjuntos?
- Elas descrevem os mesmos conjuntos em estilos diferentes. A notação de intervalos nomeia os dois extremos e deixa o detalhe com os colchetes; a de conjuntos escreve a condição, como o conjunto dos x tais que 2 é menor ou igual a x e x é menor que 7. A de intervalos é mais curta e é a que costuma ser pedida para domínio e imagem.
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Ler a resolução de outra pessoa não é o mesmo que saber fazer. O curso de matemática da Coddy coloca você em um quadro que confere cada movimento, então você descobre onde realmente está.
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