Калькулятор доверительного интервала

Интервал для среднего или доли при 90, 95 или 99%, с расчётом предельной ошибки.

Автор Nethanel Bar, Сооснователь и генеральный директор

Обновлено 17 сентября 2026 г.

Хотите решать это без калькулятора?

Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.

Начать бесплатно

Доверительный интервал - это оценка с приложенной к ней неопределённостью

Выборочное среднее - догадка о среднем совокупности, а догадка без диапазона - догадка, которую нельзя проверить. Доверительный интервал и есть этот диапазон: оценка плюс-минус предельная ошибка. Предельная ошибка - это критическое значение, умноженное на стандартную ошибку, и каждый из двух множителей отвечает на свой вопрос. Стандартная ошибка - насколько оценка сдвигалась бы от одной выборки к другой; критическое значение - на сколько таких стандартных ошибок тянется интервал, чтобы достичь запрошенной доверительной вероятности.

Для среднего страница следует стандартному рецепту. По сырым данным она вычисляет среднее и выборочное стандартное отклонение точно, стандартное отклонение сохраняется радикалом; по сводке она берёт твои числа как есть. Когда стандартное отклонение оценено по выборке, критическое значение берётся с кривой t с n минус 1 степенями свободы, что честный выбор и вариант по умолчанию здесь; версия с z в одном переключателе для известной сигмы или большого n. Для доли страница даёт два интервала: интервал Вальда, тот, что в большинстве учебников, и интервал Уилсона, тот, который нужно сообщать, потому что Вальд ведёт себя плохо, когда доля близка к 0 или 1 или выборка мала.

Интервал нарисован на числовой прямой под ответом с отмеченной оценкой, потому что картинка интервала говорит то, чего пара чисел не говорит: насколько он широк относительно того, где сидит. Интервал для среднего от 4.9 до 5.1 и интервал от 2 до 8 - оба интервалы; только один из них стоит сообщать с тремя знаками.

Что нужно знать о доверительных интервалах

«95% уверенности» - утверждение о методе, а не об этом интервале. Строй интервалы этим способом много раз, и около 95% из них будут содержать истинное значение; любой отдельный либо содержит, либо нет.
Выше уровень - шире интервал. Интервал 99% тянется примерно на 2.6 стандартной ошибки вместо 2, так что он на треть шире 95%-го при тех же данных.
Ширина сжимается как корень из n. Вчетверо больше данных вдвое уменьшают предельную ошибку; в сто раз больше данных урезают её до десятой части.
Используй t, когда сигма оценена по выборке. При n = 10 критическое значение t при 95% равно 2.26, а не 1.96, и притворяться иначе - делать интервал слишком узким.
Для доли сообщай Уилсона. Интервал Вальда может уйти ниже 0 или выше 1 и ненадёжен, когда успехов или неудач меньше примерно 10; Уилсон остаётся внутри возможного диапазона и держит обещанное покрытие.

Как построить доверительный интервал

Вычисли оценку
Выборочное среднее или выборочную долю. Оставь точной, если можешь; страница так и делает.
Вычисли стандартную ошибку
Для среднего - стандартное отклонение делить на корень из n. Для доли - корень из p(1 − p) делить на n.
Найди критическое значение
Для среднего с оценённой сигмой - с кривой t с n минус 1 степенями свободы при твоём уровне. Для известной сигмы или доли - с нормальной кривой: 1.645, 1.960 или 2.576 для 90, 95 или 99%.
Перемножь, чтобы получить предельную ошибку, затем прибавь и вычти
Предельная ошибка равна критическому значению, умноженному на стандартную ошибку. Интервал - от оценки минус ошибка до оценки плюс ошибка.

Критические значения для доверительного интервала

На сколько стандартных ошибок интервал тянется в каждую сторону от оценки.

Уровень	z	t, df = 5	t, df = 10	t, df = 30
90%	1.645	2.015	1.812	1.697
95%	1.960	2.571	2.228	2.042
99%	2.576	4.032	3.169	2.750

Разобранные примеры

Среднее по сводке

plain

x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%

Стандартная ошибка - 10 делить на 5, то есть 2. При 24 степенях свободы критическое значение t при 95% равно 2.064, так что предельная ошибка около 4.13, а интервал тянется от 45.87 до 54.13. С z вместо t было бы 1.96 умножить на 2, ошибка 3.92, чуть слишком узко для выборки из 25.

Среднее по сырым данным

plain

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Среднее ровно 5, а выборочное стандартное отклонение 4√14/7, около 2.138. Деление на корень из 8 даёт стандартную ошибку около 0.756; при 7 степенях свободы значение t равно 2.365, и интервал 95% - примерно от 3.21 до 6.79.

Доля

plain

40 successes in 100 trials

Выборочная доля 0.4. Интервал Вальда - 0.4 плюс-минус 1.96 умножить на 0.049, то есть от 0.304 до 0.496. Интервал Уилсона - от 0.309 до 0.498: чуть сдвинут к середине, и это та поправка, что держит его честным у краёв. При 40 и 60, обоих заметно больше 10, они почти совпадают; при 3 успехах из 10 - нет.

Ошибки с доверительным интервалом

Говорить, что с вероятностью 95% истинное среднее в этом интервале. Вероятностное утверждение относится к процедуре на повторных выборках, а не к одному фиксированному интервалу.
Использовать z на малой выборке. Ниже примерно n = 30 с сигмой, оценённой по данным, критическое значение t заметно больше, и интервал с z слишком узок.
Сообщать интервал Вальда для редкой доли. При 2 успехах из 20 интервал Вальда уходит ниже нуля; интервал Уилсона - нет, и записывать нужно его.
Делить на n вместо корня из n в стандартной ошибке. Предельная ошибка вышла бы слишком маленькой.
Читать узкий интервал как верный. Ширина - это точность, а не правильность; смещённая выборка даёт узкий интервал вокруг неверного числа.
Сравнивать два перекрывающихся интервала и заключать, что разницы нет. Два интервала 95% могут перекрываться, пока разность средних значима; проверяй разность напрямую.

Вопросы о доверительном интервале

Как вычислить 95% доверительный интервал?

Возьми выборочное среднее, вычисли стандартную ошибку как стандартное отклонение делить на корень из n, умножь на критическое значение для 95% (1.96 для z или значение t для n минус 1 степеней свободы, когда стандартное отклонение оценено) и прибавь и вычти эту ошибку из среднего. Страница делает каждый из этих шагов отдельной строкой.

Что на самом деле означает 95% доверительный интервал?

Что метод, который его производит, ловит истинное значение в 95% случаев на повторных выборках. Это не значит, что с вероятностью 95% истинное значение в этом конкретном интервале; оно фиксировано, и интервал либо содержит его, либо нет. Практическое чтение: значения внутри согласуются с данными, значения снаружи - нет.

Когда брать t вместо z для доверительного интервала?

Бери t всегда, когда стандартное отклонение оценено по той же выборке, а это обычный случай. Бери z, когда стандартное отклонение совокупности известно, или как приближение при большом n, от нескольких сотен. При n = 10 разница - 2.26 против 1.96, и это слишком много, чтобы игнорировать.

Что такое предельная ошибка?

Половина ширины интервала: критическое значение, умноженное на стандартную ошибку. Это тот самый плюс-минус, который называют опросы. Ошибка 3% при результате 52% означает интервал от 49% до 55%.

Почему страница показывает два интервала для доли?

Интервал Вальда - формула из учебника, p плюс-минус z умножить на корень из p(1 − p) делить на n; он прост и его преподают в большинстве курсов. Интервал Уилсона исправляет известные сбои Вальда около 0 и 1 и на малых выборках, и именно его статистики рекомендуют сообщать. Показаны оба, чтобы ты видел учебный ответ и лучший.

Какая выборка нужна для заданной предельной ошибки?

Перепиши формулу ошибки: n = (z × σ / E)². Для доли в худшем случае p = 0.5, n = (z / (2E))², так что ошибка 3% при 95% требует около 1 068 человек. Уменьшение ошибки вдвое учетверяет выборку.

Может ли доверительный интервал сказать, значим ли результат?

Да, в одну сторону: если интервал 95% для разности не содержит ноль, разность значима на уровне 5%, а если интервал для среднего не содержит гипотетическое значение, одновыборочный тест его отвергает. Интервал к тому же говорит, насколько велик эффект, чего один тест не делает.