Квадрат
- Площадь
- A = s²
- Периметр
- P = 4s
s сторона
Формулы по геометрии
Все формулы школьной геометрии на одном листе: площадь и периметр, окружность и круг, треугольники, объём и площадь поверхности, координаты. К каждой формуле есть чертёж, и каждая буква подписана.
Обновлено
Все формулы школьной геометрии на одной странице. У каждой фигуры есть чертёж, чтобы было видно, какая длина основание, а какая высота, и каждая буква подписана под формулой. Включите режим Проверь меня, чтобы скрыть формулы и проверить себя, или распечатайте весь лист.
Площадь и периметр
Прямоугольник
- Площадь
- A = lw
- Периметр
- P = 2l + 2w
l длинаw ширина
Треугольник
- Площадь
- A = ½bh
- Периметр
- P = a + b + c
b основаниеh высотаa, b, c стороны
Параллелограмм
- Площадь
- A = bh
- Периметр
- P = 2a + 2b
b основаниеh высотаa сторона
Трапеция
- Площадь
- A = ½(a + b)h
a, b основанияh высота
Ромб
- Площадь
- A = ½d₁d₂
- Периметр
- P = 4s
d₁, d₂ диагоналиs сторона
Правильный многоугольник
- Площадь
- A = ½aP
- Сумма внутренних углов
- S = (n − 2) · 180°
- Каждый внутренний угол
- (n − 2) · 180° / n
a апофемаP периметрn число сторон
Окружность и круг
Окружность и круг
- Длина окружности
- C = 2πr = πd
- Площадь
- A = πr²
- d = 2r
r радиусd диаметр
Дуга и сектор
- Длина дуги
- L = (θ / 360°) · 2πr
- Площадь сектора
- A = (θ / 360°) · πr²
θ центральный уголr радиус
Уравнение окружности
- (x − h)² + (y − k)² = r²
(h, k) центрr радиус
Треугольники
Теорема Пифагора
- a² + b² = c²
a, b катетыc гипотенуза
Углы
- Углы треугольника
- α + β + γ = 180°
- Углы в сумме 90°
- α + β = 90°
- Смежные углы
- α + β = 180°
Особые прямоугольные треугольники
- Стороны 30-60-90
- x : x√3 : 2x
- Стороны 45-45-90
- x : x : x√2
Равносторонний треугольник
- Площадь
- A = (√3 / 4)s²
- Высота
- h = (√3 / 2)s
s сторона
Формула Герона
- Площадь
- A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
- s = (a + b + c) / 2
a, b, c стороныs полупериметр
Объём и площадь поверхности
Куб
- Объём
- V = s³
- Площадь поверхности
- SA = 6s²
s сторона
Прямоугольный параллелепипед
- Объём
- V = lwh
- Площадь поверхности
- SA = 2(lw + lh + wh)
l длинаw ширинаh высота
Призма
- Объём
- V = Bh
- Площадь поверхности
- SA = 2B + Ph
B площадь основанияP периметр основанияh высота
Цилиндр
- Объём
- V = πr²h
- Площадь поверхности
- SA = 2πr² + 2πrh
r радиусh высота
Конус
- Объём
- V = ⅓πr²h
- Площадь поверхности
- SA = πr² + πrℓ
- ℓ = √(r² + h²)
r радиусh высотаℓ образующая или апофема
Пирамида
- Объём
- V = ⅓Bh
- Площадь поверхности
- SA = B + ½Pℓ
B площадь основанияP периметр основанияh высотаℓ образующая или апофема
Шар
- Объём
- V = ⁴⁄₃πr³
- Площадь поверхности
- SA = 4πr²
r радиус
Метод координат
Расстояние между точками
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) две точки
Середина отрезка
- M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) две точки
Угловой коэффициент
- m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- Параллельные прямые
- m₁ = m₂
- Перпендикулярные прямые
- m₁ · m₂ = −1
m угловой коэффициент
Уравнение прямой
- С угловым коэффициентом
- y = mx + b
- Через точку и наклон
- y − y₁ = m(x − x₁)
m угловой коэффициентb точка пересечения с осью y
Как читать лист
Найдите фигуру и сопоставьте каждую букву формулы с чертежом. Буквы обычные для учебников: b для основания, h для высоты, r для радиуса. Высота всегда проводится под прямым углом к основанию, поэтому на чертежах она пунктирная и с маленьким квадратиком: у наклонной фигуры вроде параллелограмма высота не совпадает с боковой стороной.
Заглавная B обозначает площадь основания, а не длину. В формуле V = Bh сначала находят площадь основания (треугольника, круга, любой фигуры), а потом умножают её на высоту. В российских учебниках площадь основания чаще пишут как S осн., смысл тот же.
Площадь, периметр и объём отвечают на разные вопросы
Возьмём прямоугольник 3 см на 4 см. Его периметр это длина пути вокруг него: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 см. Его площадь показывает, сколько квадратиков 1 см на 1 см в нём помещается: 3 · 4 = 12 см². Сделайте из него коробку высотой 5 см, и объём покажет, сколько кубиков с ребром 1 см в неё влезет: 3 · 4 · 5 = 60 см³.
Единицы подсказывают, какая формула нужна. Длина, умноженная на длину, это площадь; длина на длину на длину это объём. Если в задаче про объём ответ получился в квадратных единицах, не хватает множителя.
Формул меньше, чем кажется
Почти весь лист это несколько идей, применённых к разным фигурам.
- Треугольник это половина параллелограмма. Две копии любого треугольника складываются в параллелограмм с тем же основанием и высотой, поэтому площадь равна ½bh.
- Трапеция это прямоугольник со средней шириной. Её площадь ½(a + b)h равна среднему двух оснований, умноженному на высоту.
- Всё, у чего одинаковое сечение снизу доверху, это основание на высоту. Куб, параллелепипед, призма и цилиндр используют V = Bh; меняется только площадь основания.
- Всё, что сходится в вершину, это треть. Конус и пирамида вмещают треть цилиндра или призмы вокруг них, поэтому V = ⅓Bh.
- В круге всё держится на π. Длина окружности равна 2πr, площадь πr², а дуга или сектор составляют такую же долю от них, какую их угол составляет от 360°.
Пример решения
Банка высотой 10 см, радиус её дна 3 см. Сколько в неё помещается?
Это цилиндр, поэтому V = πr²h. Основание это круг площадью π · 3² = 9π, высота равна 10, значит, объём равен 90π, примерно 283 см³. Это 283 мл: чуть меньше стандартной банки газировки на 330 мл.
Попробуйте сами
Что дальше
Формулы говорят, что вычислять, а калькулятор теоремы Пифагора и калькулятор объёма сделают вычисления и покажут каждый шаг. Для углов и отношений сторон в треугольниках следующая страница это лист тригонометрических формул.
Частые вопросы
Есть ли лист формул по геометрии для печати?
Да. Лист на этой странице есть и в виде бесплатного PDF формата A4 и PNG, с теми же чертежами и формулами. Кнопки скачивания находятся над листом и ещё раз под ним.
Чем площадь отличается от площади поверхности?
Площадь измеряет плоскую фигуру: сколько бумаги закрывает прямоугольник. Площадь поверхности измеряет внешнюю сторону тела: сколько бумаги нужно, чтобы обернуть коробку. Площадь поверхности коробки равна сумме площадей её шести граней, отсюда и формула SA = 2(lw + lh + wh).
Почему объём конуса равен трети объёма цилиндра?
Конус помещается в цилиндр с тем же основанием и той же высотой и вмещает ровно треть его: наполните конус водой три раза, и цилиндр будет полон. Та же треть получается для пирамиды внутри призмы, поэтому V = (1/3)Bh подходит для обоих.
Какие формулы по геометрии нужно выучить?
Меньше, чем кажется по листу. Выучите прямоугольник, треугольник (половина прямоугольника), круг, V = Bh для всего, у чего прямые стенки и одинаковое сечение, и треть для всего, что сходится в вершину. Почти всё остальное это те же формулы с конкретным основанием.
В каких единицах измеряются площадь и объём?
Длины и периметры измеряются в обычных единицах (см), площади в квадратных (см²), объёмы в кубических (см³). Проверка единиц это самый быстрый способ поймать неверную формулу: если объём получился в см², где-то потерялась длина.
Хотите проверить на своих числах?
Калькулятор объёма Открыть калькулятор