Синус, косинус и тангенс
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a противолежащий катетb прилежащий катетc гипотенуза
Тригонометрические формулы
Все формулы тригонометрии на одном листе: три основных отношения, тождества, которые из них следуют, формулы углов, теоремы синусов и косинусов, радианы и графики.
Обновлено
Все формулы тригонометрии на одной странице: три основных отношения, тождества, формулы углов, теоремы для любого треугольника, радианы и графики. Каждая буква подписана под формулой. Включите режим Проверь меня, чтобы скрыть формулы и проверить себя, или распечатайте весь лист.
Синус, косинус, тангенс
Секанс, косеканс и котангенс
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Тангенс и котангенс через sin и cos
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Табличные углы
Уголsincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Тождества
Основное тождество и следствия
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Чётность и нечётность
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Формулы приведения
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Формулы углов
Формулы сложения
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Формулы двойного угла
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Формулы половинного угла
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Формулы понижения степени
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Произведение в сумму
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Сумма в произведение
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Треугольники
Теорема синусов
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C углыa, b, c противолежащие им стороны
Теорема косинусов
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C углыa, b, c противолежащие им стороны
Площадь треугольника
- Площадь
- A = ½ab sin C
C угол между сторонами a и b
Радианы и графики
Радианы, дуги и секторы
- 180° = π rad
- Градусы в радианы
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Длина дуги
- s = rθ
- Площадь сектора
- A = ½r²θ
r радиусθ угол в радианахs длина дуги
Графики синуса и косинуса
- y = A sin(Bx − C) + D
- Амплитуда
- |A|
- Период
- 2π / |B|
- Сдвиг фазы
- C / B
- Средняя линия
- y = D
Всё начинается с трёх отношений
В прямоугольном треугольнике выберите один из двух острых углов и обозначьте его θ. Катет напротив него называется противолежащим, катет рядом с ним прилежащим, а самая длинная сторона это гипотенуза. Тогда:
- sin θ = противолежащий катет / гипотенуза
- cos θ = прилежащий катет / гипотенуза
- tan θ = противолежащий катет / прилежащий катет
В российских школах тангенс и котангенс пишут как tg и ctg; на листе используется международная запись tan и cot, смысл тот же. Почти каждая строка листа это одно из этих трёх отношений, только переставленное.
Все тождества это один факт, поделённый по-разному
Поместите треугольник в окружность радиуса 1. Гипотенуза равна 1, поэтому катеты равны ровно cos θ и sin θ, а теорема Пифагора даёт sin²θ + cos²θ = 1.
Из этой строки получаются две другие. Разделите каждое слагаемое на cos²θ, и получится tan²θ + 1 = sec²θ; разделите вместо этого на sin²θ, и получится 1 + cot²θ = csc²θ. На странице про единичную окружность видно, как треугольник движется по окружности.
Формулы углов выводятся из двух
Выучите формулы сложения для синуса и косинуса. Всё в разделе формул углов следует из них:
- Двойной угол: положите B = A в формуле сложения, и sin(A + A) превратится в 2 sin A cos A.
- Понижение степени: выразите sin²θ из cos 2θ = 1 − 2sin²θ.
- Половинный угол: формула понижения степени, где θ записан как половина 2θ, а затем квадратный корень.
- Разность: замените B на −B и воспользуйтесь чётностью и нечётностью.
Любой треугольник, не только прямоугольный
Отношениям нужен прямой угол. Для любого другого треугольника обозначьте каждый угол заглавной буквой, а сторону напротив него той же строчной буквой. Тогда:
- Теорема синусов связывает каждую сторону с противолежащим ей углом. Применяйте её, когда известны сторона и противолежащий ей угол.
- Теорема косинусов это теорема Пифагора с поправкой на угол: при C = 90° получается cos C = 0, и она превращается в c² = a² + b². Применяйте её, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны.
Градусы и радианы
Полный оборот это 360°, или 2π радиан, поэтому 180° = π радиан. Тождества верны в обеих единицах. Длине дуги s = rθ и площади сектора A = ½r²θ нужен θ в радианах: именно поэтому они такие короткие.
Попробуйте сами
Что дальше
Откуда берутся эти значения, рассказывают страницы SOHCAHTOA и единичная окружность. На листе формул по геометрии собраны формулы площади, объёма и координат.
Частые вопросы
Есть ли лист тригонометрических формул для печати?
Да. Всё, что есть на этой странице, можно скачать как бесплатный PDF формата A4 или PNG. Кнопки скачивания находятся над листом и ещё раз под ним.
Какие три тождества следуют из теоремы Пифагора?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ и 1 + cot²θ = csc²θ. Запоминать стоит только первое, основное тригонометрическое тождество: разделите его на cos²θ и получите второе, на sin²θ и получите третье.
Когда применять теорему синусов, а когда теорему косинусов?
Теорему синусов применяют, когда известны угол и противолежащая ему сторона, а также ещё одна сторона или угол. Теорему косинусов применяют, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны. В прямоугольном треугольнике не нужна ни та, ни другая: хватит sin, cos и tan.
Какие тригонометрические формулы нужно выучить?
Три основных отношения, sin²θ + cos²θ = 1 и формулы сложения для sin и cos. Формулы двойного угла это формулы сложения при B = A, формулы половинного угла и понижения степени выводятся из формул двойного угла, а связи с sec, csc и cot это просто определения.
Работают ли формулы и в градусах, и в радианах?
Да, каждое тождество верно в обеих единицах. Радианы нужны только формулам, где угол связан с длиной: длина дуги s = rθ и площадь сектора A = ½r²θ верны, только если θ в радианах.
