相关系数计算器

r 衡量数据点有多贴近一条直线

相关系数 r 是一个介于 -1 和 1 之间的数。它的符号表示趋势的方向：x 增大时 y 倾向于增大，r 为正；y 倾向于减小，r 为负。它的大小表示数据点贴近一条直线的程度：所有点都在一条直线上时为 1 或 -1，完全没有直线趋势时为 0。r 没有单位，所以把 x 的单位从米换成厘米，它也不会变。

计算方法就是统计课要求你写出来的那种。列一张包含 x、y、xy、x² 和 y² 的表，把每一列加起来，再把各个和代入 r = (nΣxy 减 ΣxΣy) 除以 (nΣx² 减 (Σx)²) 乘以 (nΣy² 减 (Σy)²) 的平方根。本页会在答案下方列出这张表和代入后的公式，结果连同计算过程一起给出。

答案是精确的。对你能输入的数据来说，r 的平方总是一个分数，所以 r 本身就是一个分数的平方根再加上符号，本页输出的正是这个：课本上那组数据的结果是 √15/5，而不是 0.77，后者只是它的两位数字。小数写在根式旁边，强度标签则按下文给出的阈值来判断它。

怎样解读 r

• 符号表示方向，大小表示强度。r = -0.95 比 r = 0.6 的关系更强，只是方向相反。
• 本页把 |r| 不小于 0.7 标为强相关，0.4 到 0.7 为中等相关，0.1 到 0.4 为弱相关，小于 0.1 为无线性相关。这是一种常见的惯例，并非硬性规定；不同领域有各自的标准。
• r² 是 y 的变化中能由最佳拟合直线解释的比例。r = √15/5 时 r² = 0.6：这条直线解释了 60% 的变化。
• r 只衡量直线关系。从 x = -2 到 2 恰好落在 y = x² 上的点，r = 0。
• 一个离群点就能彻底改变 r。在课本那组数据中加入点 (10, 0)，r 会从约 0.7746 变成约 -0.5529。
• 把任一变量缩放，或者交换 x 和 y，r 都不变。交换 x 和 y 时最佳拟合直线会变，但 r 不会。

怎样手算相关系数

1. 1

   列出求和表

   对每个点写出 x、y、xy、x² 和 y²，然后把每一列加起来，并数出点的个数。对于 x = 1, 2, 3, 4, 5 和 y = 2, 4, 5, 4, 5，得到 n = 5，Σx = 15，Σy = 20，Σxy = 66，Σx² = 55，Σy² = 86。

2. 2

   算出分子

   nΣxy 减 ΣxΣy = 5 × 66 减 15 × 20 = 30。它的符号就是 r 的符号。

3. 3

   算出分母中的两个括号

   nΣx² 减 (Σx)² = 275 减 225 = 50，nΣy² 减 (Σy)² = 430 减 400 = 30。除非所有 x 或所有 y 都相同，否则这两项总是正数。

4. 4

   相除并化简

   r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5。换成小数约为 0.7746，是强正相关。

一眼看懂 r

这些标签就是本计算器输出的标签。r² 是 r 乘以它自己，所以符号消失了。

例题详解

x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2

x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5

x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4

x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0

常见错误

• 把“平方和”算成“和的平方”。x = 1 到 5 时，Σx² 是 55，而 (Σx)² 是 225。两者弄混可能得出大于 1 的 r，这是不可能的。
• 把 r = 0 理解为没有关系。它的意思是没有直线关系；数据点仍然可能恰好落在一条曲线上。
• 把强相关当成因果关系的证据。两个量一起增长，可能是因为第三个因素同时推动了它们，也可能只是巧合。
• 按符号比较 r 值。-0.9 比 0.6 更强。应该比较大小，并把符号单独看作方向。
• 不看散点图就报告 r。一个离群点就能让符号反转，一条曲线也可能藏在很高的 r 值背后。
• 先把 r 取近似值再平方。r ≈ 0.77 平方得 0.5929，但课本那组数据的 r² 正好是 0.6。应该对精确值求平方。

相关系数常见问题