根式计算器

根式题要的是一种写法，而不是一个小数

普通计算器会告诉你 72 的平方根是 8.4852814，但根式题几乎从来不要这个答案。它要的是 6 乘以根号 2：同一个量，换一种写法，让根号下不再藏着任何完全平方因数。区别就在这里：化简根式是改写，不是求值；而小数恰恰丢掉了题目要求你保留的精确性。

本页的一切都是精确的。根号 72 是 6 根号 2，54 的立方根是 3 倍的立方根 2，三分之二的平方根是根号 6 除以 3，而 1 除以 2 加根号 3 正好等于 2 减根号 3。每个答案旁边也给出小数，并明确标为近似值，因为有时你确实想知道这个数大概多大，但它永远不会代替答案。

三类问题放在同一页，是因为它们用的是同一项本领。化简要找出被开方数里最大的完全幂；加减要判断两个根式是不是同类根式，而这只有在两者都化简之后才知道；有理化则用根式本身或它的共轭式，把根号从分母里移走。三者归根结底是同一条规则：积的方根等于方根的积。

需要注意的地方

• 提取最大的完全平方数，而不是最先看到的那个。72 是 4 乘 18，停在这里就剩下根号 18，还不是最简形式；72 也是 36 乘 2，6 根号 2 才算化简完毕。
• 完全幂就藏在质因数分解里。把 72 写成 2 的三次方乘 3 的平方之后，每一对相同的质数都能作为一个因数移到平方根号外面。
• 两个根式只有在根号下剩下的数完全相同时才能相加。根号 8 加根号 18 可以，因为两者其实都是根号 2 的倍数；根号 8 加根号 27 不行，2 根号 2 加 3 根号 3 就是最终答案。
• 根号下有分数，和分母里有根号，是同一个问题。三分之二的平方根不是最简形式；根号里分子分母同乘 3，就变成根号 6 除以 3，这才是最简形式。
• 根指数决定提出来的是几次幂。平方根要成对，立方根要三个一组，四次根要四个一组。这就是为什么 54 的立方根提出来的是 3，而不是 6。

如何手算化简根式

1. 1

   把被开方数分解质因数

   把根号下的数写成质数的乘积。72 就是 2 × 2 × 2 × 3 × 3，即 2 的三次方乘 3 的平方。先做这一步，就不必去猜里面有没有藏着完全平方数。

2. 2

   按根指数给质因数分组

   平方根把质数两个一组，立方根三个一组。72 里成对的是 2 × 2 和 3 × 3，还剩一个 2 单独留下。

3. 3

   每凑满一组，就有一个因数移到根号外

   每一对质数在根号外贡献一个该质数。一对 2 给出 2，一对 3 给出 3，所以外面是 6，落单的 2 留在根号下：6 根号 2。

4. 4

   去掉根号下的分数

   如果根号里还有分母，就把根号内的分子分母同乘一个数，使分母成为完全幂。对于三分之二，同乘 3 得到九分之六，开出来就是根号 6 除以 3。

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   把答案平方回去检验

   6 根号 2 的平方是 36 乘 2，即 72。这一步检验一行就能发现最常见的错误：提出的因数太小时，平方回去会比被开方数小。

最简根式对照表

最常见的几种情况，每一行都标出了起作用的那个完全幂。

例题详解

sqrt(72)

3*sqrt(8)

sqrt(8) + sqrt(18)

sqrt(8) + sqrt(27)

3/sqrt(2)

1/(2 + sqrt(3))

常见错误

• 提取最先看到的完全平方数，而不是最大的那个。把根号 72 写成 2 根号 18 没有错，但没化简完，题目要求“最简二次根式”时会被判错。
• 用小数作答。8.485 不是 72 的平方根，只是它的近似值。题目里用了根号，答案就要保留根号，除非能开尽。
• 把根号下的数直接相加。根号 4 加根号 9 等于 2 + 3 = 5，而不是根号 13。根式只能作为同类根式相加，绝不能在根号里相加。
• 把根指数不同的根式相乘。根号 2 乘立方根 2 既不是根号 2，也不是立方根 4：乘法法则要求两个根指数相同才能合并。
• 分母里留着根号。根号 2 除以 2 与 1 除以根号 2 是同一个数，但只有前者是最简形式，后者的分母里还有根号。
• 把和的方根当成方根的和。根号下 9 + 16 是根号 25 = 5，而不是 3 + 4 = 7。乘法法则拆的是乘积，不是和。
• 忘了负数开偶次方在实数范围内无意义，开奇次方却可以。-16 没有实数四次方根，但 -8 的立方根正好是 -2。

根式常见问题