Notación de conjuntos
La notación de conjuntos es un alfabeto pequeño: las llaves enumeran un conjunto, ∈ dice que un elemento pertenece a él, ∪ une dos conjuntos, ∩ se queda con lo común y una prima marca todo lo demás. Cada símbolo es una región de un diagrama de Venn.
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Un conjunto es una colección de cosas distintas, llamadas sus elementos. La notación de conjuntos es el puñado de símbolos para enumerar un conjunto, decir qué pertenece a él y combinar dos conjuntos en un tercero. Son menos de una docena, y cada uno nombra una región de un diagrama de Venn.
Aquí A son los divisores de 12 y B los números pares, dentro del conjunto universal U = {1, 2, ..., 12}. Elige una operación y mira qué región sombrea.
- U = {1, 2, ..., 12}
- números enteros del 1 al 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- divisores de 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- números pares
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Se lee A unión B
Todo lo que está en A, en B o en ambos.
8 elementos
Los símbolos
| símbolo | nombre | se lee | ejemplo con los conjuntos de arriba |
|---|---|---|---|
| { } | llaves | "el conjunto de" | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | pertenencia | "pertenece a" | 6 ∈ A |
| ∉ | no pertenencia | "no pertenece a" | 5 ∉ A |
| ⊆ | subconjunto | "es subconjunto de" | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | unión | "A unión B" | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | intersección | "A intersección B" | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | diferencia | "A menos B" | A \ B = {1, 3} |
| A′ | complemento | "complemento de A" o "no A" | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | diferencia simétrica | "A diferencia simétrica B" | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | conjunto vacío | "el conjunto vacío" | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | conjunto universal | "el conjunto universal" | todo aquello de lo que se habla |
Todas las respuestas de la última columna se pueden comprobar en el diagrama de arriba, y vale la pena hacerlo una vez a mano: enumera A y B y luego lee cada operación en las dos listas.
Cómo se escribe un conjunto
La notación por extensión enumera los elementos entre llaves: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Viene con dos reglas. El orden no importa, y las repeticiones tampoco, así que {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 3} son el mismo conjunto.
La notación por comprensión describe los elementos con una regla:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Se lee "el conjunto de los números naturales x tales que 12 entre x también es un número natural". La barra vertical significa "tal que"; algunos libros usan dos puntos en su lugar. La notación por comprensión es la única forma de escribir un conjunto con infinitos elementos, como {x ∈ ℝ | x > 3}, que la notación de intervalos abrevia como (3, ∞).
Los sistemas numéricos tienen sus propias letras: ℕ para los naturales, ℤ para los enteros, ℚ para los racionales y ℝ para los reales.
Combinar dos conjuntos
Cuatro operaciones cubren casi todas las preguntas:
- Unión, A ∪ B: todo lo que está en A o en B, o en ambos. Es la palabra "o". Nada se enumera dos veces, así que 2, 4, 6 y 12 aparecen una sola vez aunque estén en los dos conjuntos.
- Intersección, A ∩ B: solo lo que está en los dos conjuntos a la vez. Es la palabra "y".
- Diferencia, A \ B: lo que está en A pero no en B. El orden importa, porque B \ A = {8, 10} mientras que A \ B = {1, 3}. Algunos libros la escriben con un signo menos.
- Complemento, A′: todo lo del conjunto universal que no está en A. Sin un conjunto universal el complemento no está definido, y por eso todo diagrama de Venn tiene un rectángulo alrededor.
La diferencia simétrica, A △ B, es la unión quitándole la intersección: los elementos que están exactamente en uno de los dos conjuntos.
Pertenece a, o es subconjunto de
Estos dos son los símbolos que más se confunden del tema, porque los dos responden a "¿está ahí dentro?".
- ∈ relaciona un elemento con un conjunto: 2 ∈ A.
- ⊆ relaciona un conjunto con un conjunto: {2} ⊆ A.
Escribir "2 ⊆ A" es incorrecto, porque 2 es un número y no un conjunto, y escribir "{2} ∈ A" es incorrecto por la razón contraria, porque A contiene el número 2 y no el conjunto {2}.
Un conjunto es subconjunto de otro cuando todos sus elementos están en el otro. Basta con que falte un elemento para que sea falso: A no es subconjunto de B, porque 1 está en A pero no en B. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, ya que no tiene ningún elemento que pueda faltar.
Contar con un diagrama de Venn
El número de elementos de un conjunto se escribe entre barras verticales: |A| = 6. Para contar una unión, suma los dos conjuntos y quita la parte común, que se ha contado dos veces:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Con los conjuntos de arriba, eso es 6 + 6 menos 4, que da 8, lo mismo que contar la unión directamente. Es el principio de inclusión y exclusión, y es como se responden preguntas de encuestas del tipo "cuántos estudiantes estudian francés o español".
La respuesta es 18 + 12 menos 5, que es 25. Si te ha salido 30, has contado dos veces a los 5 estudiantes que juegan a los dos.
Conjuntos y lógica son lo mismo
La unión es "o", la intersección es "y" y el complemento es "no". No es una analogía aproximada: un elemento está en A ∩ B exactamente cuando la afirmación "está en A y está en B" es verdadera. La página de matemáticas discretas construye las tablas de verdad de esas palabras, y el mismo diagrama de Venn sombrea las dos cosas.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa ∈?
- ∈ significa "pertenece a". 3 ∈ A dice que 3 es uno de los elementos del conjunto A. Tachado, ∉ significa "no pertenece a", así que 5 ∉ A dice que 5 no está en A. El símbolo es una épsilon griega estilizada, por la palabra elemento.
- ¿Qué diferencia hay entre ∈ y ⊆?
- ∈ relaciona un elemento con un conjunto, y ⊆ relaciona un conjunto con un conjunto. Si A = {1, 2, 3}, entonces 2 ∈ A y {2} ⊆ A son verdaderas, pero 2 ⊆ A es incorrecta, porque 2 es un número y no un conjunto. Lee ⊆ como "es subconjunto de": todos los elementos del conjunto de la izquierda están también en el de la derecha.
- ¿Qué es la notación por comprensión?
- Una forma de describir un conjunto con una regla en lugar de una lista. {x | x > 3} se lee "el conjunto de todos los x tales que x es mayor que 3". La barra vertical, o dos puntos en algunos libros, significa "tal que". Es la única forma práctica de escribir un conjunto con infinitos elementos.
- ¿Qué diferencia hay entre unión e intersección?
- La unión A ∪ B contiene todo lo que está en A o en B o en ambos. La intersección A ∩ B contiene solo lo que está en A y en B a la vez. En un diagrama de Venn la unión son los dos círculos juntos y la intersección es la lente donde se solapan, así que la intersección siempre está dentro de la unión.
- ¿Cómo se escribe el complemento de un conjunto?
- La mayoría de los libros escriben A′ (A prima), Aᶜ o A con una barra encima. Las tres significan lo mismo: todos los elementos del conjunto universal U que no están en A. El complemento depende de U, así que comprueba siempre cuál es el conjunto universal antes de enumerarlo.
- ¿Qué significa ∅?
- ∅ es el conjunto vacío, el conjunto sin elementos. También se puede escribir {}. Es subconjunto de cualquier conjunto, porque no tiene ningún elemento que pueda faltar en otro conjunto. Ojo: {∅} no está vacío: es un conjunto con un elemento, y ese elemento es el conjunto vacío.
- ¿Qué diferencia hay entre ⊂ y ⊆?
- ⊆ significa "es subconjunto de" y permite que los dos conjuntos sean iguales. ⊂ suele significar subconjunto propio, uno más pequeño que el otro conjunto. Aquí los libros no se ponen de acuerdo: algunos usan ⊂ para cualquier subconjunto y escriben ⊊ cuando quieren decir propio. Cuando importe, comprueba qué convenio usa tu curso.
