Coeficiente de correlación

Pon dos medidas una junto a otra, horas de sueño y tiempo de reacción, o temperatura y venta de helados, y representa una frente a la otra. A veces los puntos suben de izquierda a derecha, a veces bajan, a veces forman una nube sin forma. El coeficiente de correlación r convierte esa impresión en un solo número entre -1 y 1.

Arrastra los puntos de abajo. Las dos líneas discontinuas marcan la media de x y la media de y, y cada punto tiene el color que le corresponde según dónde esté respecto a ellas. Prueba primero los tres ejemplos y después aleja mucho un solo punto del resto y mira qué le hace a r.

Lo que dice el número

r siempre está entre -1 y 1, y lleva dos informaciones distintas.

El signo es el sentido. Un r positivo significa que cuando x es mayor, y tiende a ser mayor también. Un r negativo significa que cuando x es mayor, y tiende a ser menor. No dice nada de lo empinada que es la tendencia: una recta que sube suavemente y otra que sube con fuerza pueden tener las dos r = 1.

El tamaño es lo pegados que están los puntos a una recta. Con exactamente 1 o -1 todos los puntos están sobre una misma recta. Con 0 no hay ninguna tendencia lineal.

La gráfica de arriba etiqueta r con los cortes que usan la mayoría de los libros:

Estos límites son una convención, no un teorema. Sirven para describir un resultado con palabras, y cada campo los desplaza: un físico que mide r = 0.9 entre dos magnitudes que deberían ser exactamente proporcionales tiene un problema, mientras que un psicólogo que encuentra r = 0.4 entre dos rasgos tiene un resultado.

De dónde sale la fórmula

Cada punto cae en una de las cuatro regiones que forman las dos medias discontinuas. Un punto arriba y a la derecha del centro tiene la x por encima de su media y la y por encima de su media. Arriba y a la izquierda, la x está por debajo y la y por encima. Toda la fórmula se construye sobre esa imagen:

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

Mira primero el numerador. Para cada punto, multiplica lo que se aleja x de su media por lo que se aleja y de su media. En las regiones de arriba a la derecha y de abajo a la izquierda las dos distancias tienen el mismo signo, así que el producto es positivo. En las otras dos regiones los signos son distintos y el producto es negativo. Sumar los productos da un total cuyo signo es el signo de r, y por eso los colores de la gráfica te dicen el sentido antes que el número: los puntos azules suben r y los naranjas lo bajan.

El denominador solo cambia la escala. Divide entre la dispersión de x y la dispersión de y, así que el resultado ya no depende de las unidades y no puede pasar de 1 en ningún sentido.

Cálculo a mano

Toma cinco puntos: x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5. La media de x es 3 y la media de y es 4.

Así que r = 6/√60 = √15/5, que son unos 0.7746: una correlación positiva fuerte.

Fíjate en que la respuesta exacta es una raíz cuadrada. Aquí r² vale exactamente 3/5, una fracción sin más, y r es su raíz cuadrada con el signo del numerador. Por eso la calculadora de coeficiente de correlación imprime r como radical con su decimal al lado, en lugar de un decimal redondeado solo.

Muchos libros dan la misma fórmula en una forma que solo necesita sumas acumuladas, sin restar antes las medias:

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

Para los mismos cinco puntos n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 y Σy² = 86. El numerador es 5 × 66 menos 15 × 20 = 30, y los dos paréntesis del denominador son 50 y 30, así que r = 30 / √1500, el mismo √15/5.

r y r al cuadrado

Eleva r al cuadrado y obtienes r², el coeficiente de determinación. Para los cinco puntos de arriba, r² = 0.6. Se lee como una proporción: la recta de mejor ajuste de estos puntos explica el 60% de la variación de y, y el otro 40% es dispersión que la recta no puede explicar.

Los dos números responden a preguntas distintas. r te da el sentido y la intensidad a la vez, que es lo que quieres al describir una relación. r² pierde el signo, así que r = -0.9 y r = 0.9 dan los dos 0.81, y es el número que hay que dar cuando la pregunta es cuánto explica una recta. Además siempre es menor que |r| salvo que r sea 0 o ±1, así que un r de 0.5 que suena respetable se convierte en un r² de 0.25: la recta explica una cuarta parte de la variación.

Correlación no implica causalidad

Un r fuerte dice que dos magnitudes se mueven juntas en estos datos. No dice por qué, y hay tres razones habituales que no tienen nada que ver con que una cause la otra.

• Una tercera magnitud impulsa a las dos. La venta de helados y los accidentes al nadar suben y bajan juntos. El calor causa ambas cosas.
• La causa va en sentido contrario. Los molinos de viento giran más deprisa los días de viento más fuerte. El viento mueve los molinos; los molinos no producen el viento.
• Casualidad. Compara suficientes series sin relación y algunas coincidirán por azar, sobre todo a lo largo de unos pocos años.

Demostrar que x causa y requiere algo que la correlación no puede dar: un experimento controlado, o un argumento sobre el mecanismo que descarte las alternativas.

Lo que r no puede ver

El número es un resumen, y un resumen esconde cosas. Hay tres que conviene conocer.

Curvas. Los puntos (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) están exactamente sobre y = x^2, y su coeficiente de correlación es exactamente 0. La mitad izquierda baja, la mitad derecha sube, y los productos se anulan. r solo mide relaciones lineales, así que una curva perfecta puede sacar cero.

Valores atípicos. Parte de los cinco puntos de arriba, r ≈ 0.7746, y añade un solo punto en (10, 0). El nuevo r es de unos -0.5529. Un punto ha invertido el signo. También funciona al revés: x = 1 a 5 con y = 3, 1, 4, 1, 5 tiene un r débil, r ≈ 0.3536, y añadir un punto en (12, 12) lo sube a unos 0.9084 sin cambiar nada de los otros cinco. Prueba las dos cosas en la gráfica: arrastra un punto a una esquina y mira r.

Lo que no importa. Cambiar de unidades no afecta a r. Mide x en centímetros en lugar de metros, o multiplica cada x por 10, y r sigue siendo √15/5. Intercambiar qué variable es x y cuál es y tampoco cambia r, al contrario que la recta de mejor ajuste, que cambia cuando las intercambias.

Así que mira el diagrama de dispersión antes de dar r, y revisa los residuos de la recta ajustada por si hay un patrón que el número esconde.

Prueba uno

Dos magnitudes tienen un coeficiente de correlación r = -0.9. ¿Cuánto vale r al cuadrado?

La respuesta es positiva aunque r sea negativo, y es menor que 0.9. Si te ha salido -0.81, el signo se ha colado en el cuadrado; si te ha salido 0.9, te has saltado el cuadrado. Para hallar r con tus propios datos, pega las dos columnas en la calculadora de coeficiente de correlación, que muestra la tabla de sumas y la fórmula rellenada.