Notación de funciones
El malentendido que descarrila todo este tema es leer f(x) como f por x. Una máquina con una ranura no se puede multiplicar por nada, y por eso la imagen gana a la explicación.
Última actualización
Casi todo el mundo se encuentra con f(x) y lo lee como f por x. No es descuido: en cualquier otro sitio del álgebra, dos cosas escritas juntas sí se están multiplicando. 2x lo hace. a(b+c) lo hace.
Así que la solución no es una advertencia. Es otra imagen: una máquina en la que sueltas un número.
Fíjate en los paréntesis alrededor de la entrada. f(x) no es f por x: es el nombre de la máquina seguido de lo que le hayas echado dentro.
El nombre, y luego lo que le has echado
Lee f(3) en voz alta como "f de 3", no como "f tres". La f es el nombre de la máquina y los paréntesis guardan lo que entró. No se multiplica nada, porque una máquina no es una cantidad.
Con esa imagen, la notación se gana su sitio. Registra dos datos en un símbolo - qué entró y qué salió - cosa que la simple y no puede hacer. Escribir y = 7 da una salida; escribir f(2) = 7 da la salida y la entrada que la produjo.
También permite que varias funciones compartan página sin chocar. Si f y g están en juego, f(2) y g(2) son inequívocos donde dos y no lo serían.
Evaluar: sustituir, entre paréntesis
Para calcular f(3), sustituye cada x de la regla por 3, y ponlo entre paréntesis mientras lo haces.
Con f(x) = 2x + 1:
f(3) = 2(3) + 1 = 7
Los paréntesis parecen quisquillosos con un número positivo. Dejan de parecerlo en cuanto la entrada es negativa:
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
Sin ellos escribes 2 - 2 + 1 y obtienes 1, que no es respuesta de nada. Ese único hábito elimina la mayoría de los errores de signo del tema.
La entrada tampoco tiene por qué ser un número. Alimentar la máquina con a + 1 da f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3: la misma sustitución, hecha con un bloque en vez de una cifra.
Cada valor es un punto
Dale a la máquina unas cuantas entradas y anota las parejas:
| x | f(x) | como punto |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
Esas parejas son coordenadas, así que las salidas de una función son una imagen.
Por eso f(x) = 2x + 1 y y = 2x + 1 dibujan la misma recta. Son la misma regla; la notación de funciones se limita a dejar el nombre de la entrada a la vista.
f(7) y f(x) = 7 son preguntas opuestas
Esta distinción merece ir despacio.
f(7) le da un 7 a la máquina y pregunta qué sale. Es una sustitución y ocupa una línea.
f(x) = 7 dice que algo salió como 7 y pregunta qué entró. Eso es una ecuación que hay que resolver:
Así que f(4) = 9. Ir hacia delante es aritmética; ir hacia atrás es álgebra, y la notación es casi idéntica en los dos sentidos, que es justamente por qué vale la pena nombrar la diferencia una vez.
Prueba uno
Si f(x) = 2x + 1, ¿cuánto vale f(-4)?
Si te ha salido -3 o 9, mira los paréntesis: la entrada hay que multiplicarla por el 2, no sumarla ni restarla.
Dos palabras que verás enseguida
El conjunto de entradas que una máquina acepta es su dominio; el conjunto de salidas que puede producir es su recorrido. Los dos se escriben normalmente en notación de intervalos, y los dos son preguntas sobre la máquina, no sobre ningún número concreto que le eches.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa f(x)?
- Es la salida de la función llamada f cuando le das x. La f es un nombre, como la etiqueta de una máquina, y los paréntesis guardan lo que estás metiendo. No es f multiplicado por x: aquí los paréntesis significan "aplicada a", no "por".
- ¿Cómo se evalúa f(3)?
- Sustituye cada x de la regla por 3, entre paréntesis, y calcula. Si f(x) = 2x + 1, entonces f(3) = 2(3) + 1 = 7. Mantener los paréntesis alrededor del número es lo que evita que una entrada negativa salga mal: f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, mientras que quitarlos invita a escribir 2 - 2 + 1.
- ¿Por qué escribir f(x) en lugar de y?
- Porque dice qué entrada produjo la salida. Con y puedes escribir y = 5 pero no que ese 5 vino de x = 2; con notación de funciones, f(2) = 5 lleva los dos datos en un solo símbolo. Además permite que varias funciones convivan en una página (f, g, h) sin confundir sus salidas.
- ¿Qué diferencia hay entre f(x) = 7 y f(7)?
- Son preguntas opuestas. f(7) le da un 7 a la máquina y pregunta qué sale. f(x) = 7 dice que algo salió como 7 y pregunta qué entró, lo que significa resolver una ecuación en vez de sustituir. Confundir estas dos cosas es el segundo error más común del tema.
- ¿Puedo usar letras distintas de f y x?
- Sí, y lo harás. f, g y h son convencionales para funciones y x para la entrada, pero nada depende de las letras: g(t) = 3t nombra una función g con entrada t y se comporta igual. Los problemas aplicados suelen elegir letras con significado, como h(t) para una altura al cabo de t segundos.
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