Notación de intervalos
No hay forma de razonar de "el 3 está incluido" a "pon un corchete": es un convenio. Lo que hace que se fije es ver las tres notaciones moverse a la vez.
Última actualización
La notación de intervalos no es difícil. Es arbitraria, que es peor. No hay argumento que lleve de "el 3 pertenece a este conjunto" a "entonces pon un corchete": alguien lo eligió y ahora hay que saberlo.
Lo que de verdad lo fija es ver moverse a la vez las tres formas de escribir un conjunto. Arrastra un extremo abajo y luego cámbialo entre incluido y excluido.
Mueve un extremo y luego cámbialo entre incluido y excluido. El corchete cambia de forma y el punto se rellena: son dos escrituras de un mismo hecho.
Los dos paréntesis
Todo intervalo se escribe con el extremo menor primero y el mayor después, y cada extremo lleva una de dos marcas:
| lo que quieres decir | desigualdad | notación | en la recta |
|---|---|---|---|
| el extremo entra | x <= 7 | 7] | punto relleno |
| el extremo no entra | x < 7 | 7) | punto hueco |
Eso es todo el convenio. Lo demás es contabilidad.
Así que -2 <= x < 5 - dos ideas y media en una línea - se
convierte en [-2, 5). El corchete de la izquierda dice que -2 está en el
conjunto; el paréntesis de la derecha dice que 5 no.
Una comprobación útil: la forma del paréntesis apunta igual que el signo. El corchete tiene un extremo plano y cerrado, como la rayita bajo el signo ≤. El paréntesis es abierto y redondeado, como el < a secas.
El infinito siempre va abierto
x > 3 no tiene extremo superior, así que se escribe (3, ∞).
Fíjate en el paréntesis de la derecha. No es una elección de estilo: está
forzado. Un corchete significa "este extremo está en el conjunto", y el infinito
no es un número, así que no puede estar en nada. Escribir [3, ∞] afirma que
algún valor es infinito, y por eso todos los libros lo dan por incorrecto.
Lo mismo del otro lado: x <= 5 es (-∞, 5]: abierto contra el infinito, cerrado contra el 5.
Dos tramos a la vez
Algunos conjuntos no son de una sola pieza. "Todo lo menor que -2 o mayor que 5" no cabe en un intervalo, porque los números de en medio no están. Une las piezas con una unión:
(-∞, -2) ∪ (5, ∞)
Escribe siempre primero la pieza de la izquierda y nunca al revés como
[5, -2]. El primer número de un intervalo es el menor, así que un intervalo
invertido no describe nada.
Esta forma aparece sobre todo en dominios. El dominio de 1/(x-3) es todo número salvo el 3, que en intervalos es (-∞, 3) ∪ (3, ∞): la recta con un punto perforado.
De una desigualdad a un intervalo
La mayoría de los ejercicios te dan una desigualdad para resolver y luego piden la respuesta como intervalo, así que las dos mitades cuentan igual. Primero resuelve:
La respuesta es x < 5. No hay extremo inferior y el 5 queda excluido, así que en notación de intervalos es (-∞, 5).
Una trampa al resolver: multiplicar o dividir por un negativo invierte el signo. -3x <= 12 pasa a ser x >= -4, no x <= -4; si se te escapa el giro, el intervalo apunta justo al revés.
Prueba uno
Y luego di la respuesta en voz alta como intervalo antes de seguir. Saber resolverla y saber escribirla son dos destrezas distintas, y en la segunda es donde se pierden los puntos.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la notación de intervalos?
- Una forma corta de escribir un tramo de la recta numérica. Se dan los dos extremos en orden, primero el menor, y el tipo de paréntesis indica si cada extremo pertenece al conjunto: el corchete lo incluye, el paréntesis lo excluye. Así [2, 7) significa todo desde 2 hasta 7 sin incluir el 7.
- ¿Cuándo se usa corchete y cuándo paréntesis?
- Corchete para un extremo que pertenece al conjunto y paréntesis para uno que no. Coincide directamente con el signo de la desigualdad: menor o igual lleva corchete, estrictamente menor lleva paréntesis. En la recta numérica esa misma distinción es un punto relleno frente a uno hueco.
- ¿Por qué el infinito lleva siempre paréntesis?
- Porque el infinito no es un número y nada puede ser igual a él. Un extremo lleva corchete solo cuando el conjunto contiene ese valor, y ningún conjunto contiene al infinito. Por eso se escribe (-∞, 5] o [3, ∞), nunca un corchete pegado al símbolo de infinito.
- ¿Cómo escribo dos tramos separados?
- Se unen con el símbolo de unión ∪, escribiendo primero el tramo de la izquierda: (-∞, -2) ∪ (5, ∞) es todo lo menor que -2 junto con todo lo mayor que 5. Así se ve una desigualdad con "o" en notación de intervalos, y aparece constantemente en dominios donde hay que excluir un valor.
- ¿Qué diferencia hay con la notación de conjuntos?
- Describen los mismos conjuntos con estilos distintos. La notación de intervalos nombra los dos extremos y deja el detalle a los corchetes; la de conjuntos escribe la condición, como el conjunto de los x tales que 2 es menor o igual que x y x es menor que 7. La de intervalos es más corta y es la que suelen pedir para dominios y recorridos.
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