El triángulo 30-60-90
Solo dos triángulos tienen razones de lados lo bastante exactas para escribirlas, y por eso son los únicos que se resuelven de cabeza. Ambos salen de partir por la mitad una figura que ya conoces.
Última actualización
Todo triángulo rectángulo tiene razones entre sus lados. En casi todos, esas razones son decimales feos que necesitan calculadora. En exactamente dos, son expresiones exactas y cortas que puedes escribir, y por eso aparecen en un ejercicio tras otro.
Cambia entre ellos abajo, y cambia también el tamaño.
Mueve el control. Todos los lados cambian y los tres ángulos no: por eso una sola proporción memorizada resuelve un triángulo de cualquier tamaño.
De dónde sale el 30-60-90
Empieza con un triángulo equilátero: tres lados iguales, tres ángulos de 60°. Córtalo justo por el medio, desde el vértice superior hasta el punto medio de la base.
El corte es perpendicular a la base, así que tienes un ángulo recto. Uno de los ángulos de 60° de la base sobrevive intacto. El de 60° de arriba se parte en dos, así que se convierte en 30°. Ese es tu triángulo 30-60-90, y salió de una figura cuyos lados ya conocías.
Ahora lee los lados. Si el equilátero tenía lados de 2, la hipotenusa de la mitad sigue siendo 2 y la base se ha partido a 1. La altura sale de Pitágoras:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, así que h = sqrt(3).
Lados 1, sqrt(3) y 2: esa es la razón, y es exacta porque viene de una construcción exacta, no de una medición.
Qué lado va dónde
La regla que evita casi todos los errores: el lado mayor está frente al ángulo mayor.
| ángulo | lado | longitud |
|---|---|---|
| 30° | cateto corto | x |
| 60° | cateto largo | x√3 |
| 90° | hipotenusa | 2x |
Así que la hipotenusa es el doble del lado corto, nunca del largo. Y como sqrt(3) vale más o menos 1,73, el cateto largo queda entre los otros dos, lo que sirve de comprobación rápida de cualquier respuesta.
El 45-45-90 es un cuadrado partido por la mitad
Mismo truco, otra figura. Toma un cuadrado de lado 1 y córtalo por su diagonal. Los dos ángulos que quedan son de 45°, los dos catetos son iguales y la diagonal es la hipotenusa:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, así que d = sqrt(2).
Razón 1 : 1 : sqrt(2). Este aparece dondequiera que haya cuadrados: diagonales de pantallas, baldosas, tableros de ajedrez.
Hallar un lado que falta
Trabaja siempre hacia el lado corto y luego escala.
Dada la hipotenusa. Un 30-60-90 con hipotenusa 14: divídela entre dos, el lado corto es 7, y el cateto largo es 7sqrt(3).
Dado el cateto largo. Un 30-60-90 con cateto largo 9: divide entre sqrt(3) y el lado corto es 3sqrt(3), así que la hipotenusa es 6sqrt(3).
Dado un cateto de un 45-45-90. El otro cateto es igual, y la hipotenusa es ese cateto por sqrt(2).
Mueve el deslizador de la figura mientras lees eso: la aritmética de arriba no es más que la lectura a tres tamaños distintos.
Prueba uno
Un triángulo 30-60-90 tiene un lado corto de 6. ¿Cuánto mide su cateto largo?
Déjalo como 6sqrt(3) y no como 10,39. La forma exacta es la que puede usar el paso siguiente de un problema, y es la que busca quien corrige.
Los valores trigonométricos exactos salen solos
Como estos dos triángulos tienen lados exactos, tienen senos y cosenos exactos, y de ahí vienen los números de cualquier tabla de la circunferencia unidad:
| ángulo | sen | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Tres valores distintos en todo el primer cuadrante, y el 30° y el 60° son el mismo par intercambiado, que es exactamente lo que cabe esperar de un mismo triángulo leído desde sus dos ángulos agudos.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuáles son los lados de un triángulo 30-60-90?
- Están en la razón 1 : √3 : 2. El lado más corto está frente al ángulo de 30 grados, el más largo es la hipotenusa y mide exactamente el doble del corto, y el lado restante es el corto multiplicado por la raíz de 3. Todos los triángulos 30-60-90 del mundo tienen esas proporciones, sea cual sea su tamaño.
- ¿De dónde sale la razón 30-60-90?
- Parte un triángulo equilátero por la mitad siguiendo su altura. Uno de los ángulos de 60 grados de la base sobrevive, el de 60 de arriba se parte en 30, y el corte crea un ángulo recto. La base también se parte por la mitad, así que el lado corto es exactamente la mitad del lado original, y por eso la hipotenusa es el doble del corto. La altura sale entonces de Pitágoras.
- ¿Cuáles son los lados de un triángulo 45-45-90?
- Están en la razón 1 : 1 : √2. Sus dos catetos son iguales porque los dos ángulos de 45 grados lo son, y la hipotenusa es un cateto por la raíz de 2, que es Pitágoras aplicado a un cuadrado cortado por su diagonal, porque eso es exactamente lo que es el triángulo.
- ¿Cómo hallo un lado que falta en un triángulo notable?
- Encuentra primero el lado corto y luego escala. Si te dan la hipotenusa de un 30-60-90, divídela entre dos para obtener el corto; si te dan el cateto largo, divídelo entre la raíz de 3. Con el corto conocido, los otros dos son ese corto por raíz de 3 y por 2.
- ¿Por qué memorizarlos si existe la calculadora?
- Porque las respuestas son exactas y las de la calculadora no. Una calculadora da 8,660254 donde la verdad es 5√3, y un valor exacto es lo que necesita el paso siguiente: simplificar, cancelar o dejar la respuesta en forma radical. Además, los exámenes usan constantemente estos dos triángulos precisamente porque se responden sin calculadora.
Ahora hazlo tú, de verdad
Leer el desarrollo de otra persona no es lo mismo que saber hacerlo. El curso de matemáticas de Coddy te pone en un tablero que comprueba cada movimiento que haces, así que descubres de verdad en qué punto estás.
