Multiplicar fracciones
Multiplicar fracciones es la más fácil de las cuatro operaciones y se enseña como la confusa, porque la regla llega sin ninguna razón detrás. La razón es un cuadrado cortado en dos direcciones.
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De las cuatro cosas que puedes hacer con un par de fracciones, multiplicar es con diferencia la más fácil: multiplica los numeradores, multiplica los denominadores, listo. Sin denominador común, sin invertir, sin reordenar.
Lo que plantea la pregunta que casi todas las páginas se saltan. Sumar fracciones exige que los denominadores coincidan. ¿Por qué multiplicar no?
Los dos cortes van en direcciones distintas, así que nunca tienen que coincidir: por eso multiplicar no necesita denominador común. La respuesta es la zona solapada.
La respuesta es la zona solapada
El cuadrado es un total. La primera fracción lo corta en columnas y sombrea algunas; la segunda lo corta en filas y sombrea algunas de ellas. El rectángulo con el sombreado fuerte es donde se solapan los dos sombreados, y ese rectángulo es la respuesta.
Con 3/4 y 2/3 el cuadrado queda cortado en 4 columnas y 3 filas, lo que da 12 celdas pequeñas. El solape cubre 3 columnas por 2 filas, o sea 6 celdas. Seis de doce:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
Los dos números de arriba se multiplicaron porque el solape mide tantas celdas de ancho por tantas de alto. Los dos de abajo se multiplicaron porque el cuadrado entero quedó cortado en tantas celdas en total. No podía pasar otra cosa.
Y ahora la pregunta del denominador común se responde sola. Los dos cortes van en direcciones distintas, así que nunca tienen que coincidir. Sumar necesita piezas iguales porque estás contando piezas juntas; aquí no cuentas nada junto, tomas una parte de una parte.
Significa la palabra "de"
Lee el signo de multiplicar como de y multiplicar fracciones deja de tener que recordarse:
- la mitad de una mitad es un cuarto — 1/2 * 1/2 = 1/4
- dos tercios de tres cuartos es un medio — 2/3 * 3/4 = 1/2
- un tercio de 60 es 20 — 1/3 * 60 = 20
Es también la razón por la que un enunciado como "tres quintos de la clase de 30" es una multiplicación y no algo más complicado.
Una consecuencia despista. Multiplicar por una fracción menor que 1 reduce, porque estás tomando una parte. 3/4 * 8 = 6, y 6 es menos que 8. No es un error: es lo que significa "tres cuartos de".
Enteros y números mixtos
Un número entero es una fracción con 1 debajo, y escrito así la misma regla lo cubre:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Un número mixto tiene que pasar antes a fracción impropia, porque no hay forma de multiplicar la parte entera y la fraccionaria por separado y acertar. 2 + 1/2 es 5/2, así que
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Si te tienta multiplicar el 2 por el 2 y luego los medios por los tercios, pruébalo con 2 1/2 por 2 1/2: la respuesta honesta es 6 1/4, y el atajo da 4 1/4.
Simplifica antes y los números se quedan pequeños
Como todo el producto es una sola fracción, cualquier numerador puede simplificarse con cualquier denominador antes de multiplicar. Toma 3/4 * 8/9:
- el 3 y el 9 comparten el factor 3, y quedan 1 y 3
- el 4 y el 8 comparten el factor 4, y quedan 1 y 2
lo que deja 1/1 * 2/3 = 2/3 — la respuesta correcta, sin haber escrito nunca 72. Multiplicar primero da 24/36, que se reduce al mismo 2/3 con algo más de trabajo. Simplificar temprano no es otro método, solo menos aritmética.
Prueba una
Si te salió 10/12, es la cantidad correcta escrita en la forma equivocada: simplifícala. Si buscaste un denominador común, ese paso pertenece a la suma, y esta página es la razón por la que aquí se puede omitir.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se multiplican las fracciones?
- Multiplica los dos numeradores entre sí y los dos denominadores entre sí, y luego simplifica. Así 3/4 x 2/3 = 6/12, que es 1/2. No hay paso de denominador común ni inversión: eso pertenece a la suma y a la división.
- ¿Por qué no hace falta denominador común para multiplicar?
- Porque las dos fracciones cortan el total en direcciones distintas. Sumar exige que las piezas sean del mismo tamaño para poder contarlas juntas; multiplicar toma una fracción DE otra fracción, así que un corte cruza al otro y nunca tienen que coincidir. En el cuadrado de arriba, una fracción corta columnas y la otra corta filas.
- ¿Qué significa realmente multiplicar fracciones?
- Significa "de". La mitad de una mitad es un cuarto, y eso es exactamente lo que dice 1/2 x 1/2 = 1/4. Leer el signo por como la palabra "de" convierte casi cualquier problema con enunciado en un cálculo evidente: dos tercios de 3/4 es 2/3 x 3/4.
- ¿Cómo se multiplica una fracción por un número entero?
- Escribe el entero sobre 1 y sigue igual. 4/5 x 10 se convierte en 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Fíjate en que la respuesta creció, porque multiplicar por un número mayor que 1 siempre agranda, mientras que multiplicar por una fracción menor que 1 siempre reduce.
- ¿Puedo simplificar antes de multiplicar?
- Sí, y suele ser más fácil. Cualquier numerador puede simplificarse con cualquier denominador antes de multiplicar, porque todo el producto es una sola fracción. En 3/4 x 8/9 el 3 y el 9 comparten el factor 3, y el 4 y el 8 comparten el 4, así que queda 1/1 x 2/3 = 2/3 sin escribir nunca un número grande.
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