Forma punto-pendiente
La forma pendiente-ordenada necesita el único punto que casi ningún enunciado te da. La punto-pendiente acepta el punto que sí te han dado, y por eso es la primera a la que echar mano.
Última actualización
Casi todos los ejercicios sobre rectas te dan un punto y una pendiente, o dos puntos. Casi ninguno te da la ordenada en el origen. Y sin embargo y = mx + b suele ser la única forma que la gente sabe escribir, así que se gasta línea y media despejando una b que nadie ha pedido.
La forma punto-pendiente se salta ese paso. Arrastra el punto de abajo y mira cómo la ecuación lo sigue.
Arrastra el punto a donde quieras. La ecuación se reescribe alrededor del punto en el que caigas: la recta no tiene por qué cortar el eje y en un número entero.
De dónde sale la fórmula
La pendiente es la subida entre el avance, tomados entre dos puntos cualesquiera de la recta. Fija uno de ellos en un punto que conoces, (x₁, y₁), y deja que el otro sea un punto general (x, y). Entonces
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Multiplica los dos lados por x - x₁ y la fracción desaparece:
y - y₁ = m(x - x₁)
Esa es toda la deducción. La forma punto-pendiente no es una idea nueva: es la fórmula de la pendiente con la división deshecha, y por eso la cumple toda la recta y funciona desde cualquier punto de ella.
Las dos restas son distancias desde tu punto
Los dos signos menos hacen el mismo trabajo en ejes distintos: cuánto avanzas desde x₁ y cuánto subes desde y₁. Leídos así, los signos dejan de ser algo que memorizar.
Sí muerden cuando una coordenada es negativa. Una recta de pendiente 2 que pasa por (-3, 4) es
y - 4 = 2(x + 3)
porque restar -3 es sumar 3. Que salga un signo más no es un error; escribir x - 3 sí lo es.
Mueve el punto de la figura al tercer cuadrante y mira cómo cambian los dos signos. Es la parte de esta forma que más respuestas erróneas genera, y treinta segundos de mirarla lo arreglan mejor que una regla.
Dos puntos, una recta
Dados (1, 1) y (4, 7): calcula primero la pendiente y luego mete cualquiera de los dos puntos.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Con el primer punto sale y - 1 = 2(x - 1). Con el segundo sale y - 7 = 2(x - 4). No se parecen en nada y son la misma recta: desarrolla cualquiera de las dos y obtienes y = 2x - 1.
Conviene fiarse de eso en lugar de dudar. Si tu respuesta no coincide con la del libro, desarrolla las dos antes de dar por hecho que te equivocas.
Pasar a forma pendiente-ordenada
Cuando el enunciado sí quiere y = mx + b, la conversión son dos movimientos: desarrollar el paréntesis y despejar la y.
Partiendo de y - 3 = 2(x - 1): al desarrollar queda y - 3 = 2x - 2, y al sumar 3 a los dos lados, y = 2x + 1.
La b en la que nunca tuviste que pensar aparece al final, que es de lo que se trata. El trabajo lo hizo la punto-pendiente; la pendiente-ordenada es solo el formato.
Prueba uno
El fallo más común aquí es desarrollar 2(x - 1) como 2x - 1. El 2 tiene que llegar a los dos términos del paréntesis, que es la propiedad distributiva haciendo su trabajo de siempre.
Qué forma para qué pregunta
| te dan | usa |
|---|---|
| un punto y una pendiente | punto-pendiente |
| dos puntos | la pendiente entre ellos y luego punto-pendiente |
| la ordenada en el origen y una pendiente | pendiente-ordenada |
| una ecuación para representar rápido | pendiente-ordenada |
| una recta paralela o perpendicular a otra, por un punto | punto-pendiente |
La punto-pendiente es la forma para escribir una recta; la pendiente-ordenada es la forma para leerla. La mayoría de los problemas necesitan las dos, en ese orden.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la forma punto-pendiente?
- La ecuación y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente y (x1, y1) es cualquier punto por el que pasa la recta. Es una traducción directa de la fórmula de la pendiente: la subida desde el punto conocido dividida entre el avance desde ese punto siempre vale m, y multiplicar por ese avance quita la fracción.
- ¿Cuándo conviene la punto-pendiente y no la pendiente-ordenada?
- Siempre que el punto dado no sea el corte con el eje y, que es casi siempre. La forma pendiente-ordenada necesita b, así que partiendo de un punto cualquiera hay que despejar b primero. Con punto-pendiente escribes la respuesta de inmediato y reorganizas después, si es que el enunciado lo pide.
- ¿Cómo hallo la ecuación de la recta que pasa por dos puntos?
- Calcula primero la pendiente: la diferencia de las y entre la diferencia de las x. Luego elige cualquiera de los dos puntos, de verdad cualquiera, y mételo en la forma punto-pendiente. Solo hace falta reorganizar si el enunciado pide una forma concreta.
- ¿Por qué las dos operaciones son restas?
- Porque las dos son diferencias medidas desde el punto conocido: cuánto avanzas desde x1 y cuánto subes desde y1. Cuando una coordenada es negativa, la resta se convierte en suma, y ahí es donde se cometen casi todos los errores: un punto en (-3, 4) da y - 4 = m(x + 3), y ese signo más es correcto.
- ¿Importa cuál de los dos puntos use?
- No. Las dos ecuaciones parecen distintas y describen exactamente la misma recta: reorganiza ambas a forma pendiente-ordenada y salen idénticas. Casi todo el profesorado acepta cualquiera de las dos, pero si el enunciado pide una forma, reorganizar zanja la discusión.
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