Dividir fracciones
Invertir y multiplicar es una regla fiable y una explicación terrible. Pregunta mejor cuántas veces cabe una fracción en la otra, cuéntalas sobre una barra, y la inversión resulta ser lo único que podía pasar.
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A casi todo el mundo le enseñan la misma consigna para esto — invierte y multiplica — y a casi nadie le dicen por qué funciona. Es una pena, porque la razón es más simple que la regla y hace imposible confundir el orden.
Empieza por lo que la división pregunta de verdad: ¿cuántos de estos caben en aquello? Doce entre 3 es 4 porque cuatro 3 caben en 12. Con las fracciones es igual, y se pueden contar.
Dividir pregunta cuántas veces cabe la segunda fracción en la primera. Cuenta las piezas numeradas: ese número es la respuesta, y es la razón por la que se invierte la segunda fracción.
Cuenta las piezas y la inversión aparece
La barra es un total. El sombreado claro es la primera fracción, lo que estás repartiendo. Los bloques numerados son la segunda fracción, colocada a lo largo uno tras otro, y los números son el recuento.
Con los valores iniciales estás preguntando cuántos octavos caben en tres cuartos. Aparecen seis bloques, así que:
(3/4)/(1/8) = 6
Mira ahora qué es contar octavos. Hay 8 en cada unidad, así que preguntar cuántos octavos contiene algo es preguntar cuántas veces mayor que un octavo es, y eso es multiplicar por 8:
(3/4)/(1/8) = 3/4 * 8/1 = 24/4 = 6
Esa es la inversión. Dividir entre una fracción con 8 debajo es multiplicar por 8, porque hay 8 en cada unidad. Convertir 1/8 en 8/1 no es un truco aplicado a los números: es la pregunta reescrita.
La fracción invertida tiene nombre, el recíproco, y la regla completa es: dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproco.
Solo se invierte la segunda
Mueve los deslizadores para que la segunda fracción sea mayor que la primera y el recuento baja de 1: el último bloque queda discontinuo, porque solo cabe una parte. Ese bloque parcial es la razón de que la respuesta sea una fracción y no un entero, y también una buena comprobación de cuál invertiste.
La división no es simétrica, así que el orden importa:
(3/4)/(1/2) = 3/4 * 2/1 = 3/2
(1/2)/(3/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3
Las mismas dos fracciones, respuestas distintas. Si inviertes la que no toca obtienes el recíproco de la respuesta correcta, un error que se esconde bien: las dos parecen fracciones plausibles. Decir el cálculo en voz alta lo arregla: el número por el que divides es el que se invierte.
Enteros, en los dos sentidos
Un entero es una fracción sobre 1, así que dividir entre 5 es multiplicar por 1/5:
(2/3)/5 = 2/3 * 1/5 = 2/15
que es lo que debería dar repartir dos tercios entre cinco personas: algo pequeño. El otro sentido también merece hacerse:
6/(1/3) = 6 * 3/1 = 18
Dieciocho tercios en seis unidades. Cuando el resultado de una división sale mayor que el punto de partida, comprueba si dividiste entre algo menor que 1: si es así, una respuesta mayor es correcta, no un desliz.
Un número mixto se vuelve impropio primero
2 + 1/2 entre 3/4 no es "2 entre algo". Escribe el número mixto como 5/2 y deja de tener nada especial:
(5/2)/(3/4) = 5/2 * 4/3 = 20/6 = 10/3
Prueba una
Si te salió 8/27, invertiste la primera fracción en lugar de la segunda. Si te salió 2/3 por 4/9, no invertiste nada: el cambio de división a multiplicación y la inversión siempre van juntos.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se dividen las fracciones?
- Invierte la segunda fracción y multiplica. Así 3/4 entre 1/8 se convierte en 3/4 x 8/1 = 24/4 = 6. La primera fracción se deja tal cual: solo se pone del revés aquella POR la que divides.
- ¿Por qué se invierte la segunda fracción?
- Porque dividir pregunta cuántas veces cabe la segunda fracción en la primera, y contar cuántos octavos caben en algo es preguntar cuántas veces mayor que un octavo es, lo que equivale a multiplicar por 8. Convertir 1/8 en 8/1 es esa pregunta escrita.
- ¿Cuál de las dos fracciones se invierte?
- La segunda, el divisor. Invertir la primera da otra respuesta, porque la división no es simétrica: 3/4 entre 1/2 es 3/2, mientras que 1/2 entre 3/4 es 2/3. Si dudas, di el cálculo en voz alta: el número POR el que divides es el que se invierte.
- ¿Por qué la respuesta a veces es mayor que el inicio?
- Porque dividir entre un número menor que 1 pregunta cuántas cosas pequeñas caben en una mayor, y la respuesta a eso son muchas. 3/4 entre 1/8 es 6: seis piezas del tamaño de un octavo caben en tres cuartos. La división solo reduce cuando divides entre algo mayor que 1.
- ¿Cómo se divide una fracción entre un número entero?
- Escribe el entero sobre 1 e inviértelo, así que dividir entre 5 es multiplicar por 1/5. Entonces 2/3 entre 5 es 2/3 x 1/5 = 2/15. Coincide con lo que significa repartir: dos tercios entre cinco personas dan a cada una una pieza pequeña.
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