Notation ensembliste
La notation ensembliste est un petit alphabet : les accolades donnent la liste d'un ensemble, ∈ dit qu'un élément lui appartient, ∪ réunit deux ensembles, ∩ garde leur partie commune, et le prime désigne tout le reste. Chaque symbole est une zone d'un diagramme de Venn.
Dernière mise à jour
Un ensemble est une collection d'objets distincts, appelés ses éléments. La notation ensembliste, c'est la poignée de symboles qui servent à lister un ensemble, à dire ce qui lui appartient et à combiner deux ensembles pour en former un troisième. Il y en a moins d'une douzaine, et chacun nomme une zone d'un diagramme de Venn.
Ici, A est l'ensemble des diviseurs de 12 et B celui des nombres pairs, dans l'ensemble universel U = {1, 2, ..., 12}. Choisissez une opération et regardez quelle zone elle colorie.
- U = {1, 2, ..., 12}
- entiers de 1 à 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- diviseurs de 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- nombres pairs
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Se lit A union B
Tout ce qui est dans A, dans B, ou dans les deux.
8 éléments
Les symboles
| symbole | nom | se lit | exemple avec les ensembles ci-dessus |
|---|---|---|---|
| { } | accolades | « l'ensemble de » | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | appartenance | « appartient à » | 6 ∈ A |
| ∉ | non-appartenance | « n'appartient pas à » | 5 ∉ A |
| ⊆ | inclusion | « est inclus dans » | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | réunion | « A union B » | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | intersection | « A inter B » | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | différence | « A privé de B » | A \ B = {1, 3} |
| A′ | complémentaire | « complémentaire de A » ou « non A » | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | différence symétrique | « différence symétrique de A et B » | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | ensemble vide | « l'ensemble vide » | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | ensemble universel | « l'ensemble universel » | tout ce dont on parle |
Chaque réponse de la dernière colonne peut se vérifier sur le diagramme ci-dessus, et cela vaut la peine de le faire une fois à la main : listez A et B, puis lisez chaque opération sur les deux listes.
Écrire un ensemble
L'écriture en extension donne la liste des éléments entre accolades : A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Elle s'accompagne de deux règles. L'ordre ne compte pas, et les répétitions non plus : {1, 2, 3}, {3, 2, 1} et {1, 1, 2, 3} sont le même ensemble.
L'écriture en compréhension décrit plutôt les éléments par une règle :
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Lisez-la « l'ensemble des entiers naturels x tels que 12 divisé par x est aussi un entier naturel ». La barre verticale signifie « tel que » ; certains manuels utilisent un deux-points à la place. L'écriture en compréhension est la seule façon d'écrire un ensemble qui a une infinité d'éléments, comme {x ∈ ℝ | x > 3}, que la notation par intervalles abrège en (3, ∞).
Les ensembles de nombres ont leurs propres lettres : ℕ pour les entiers naturels, ℤ pour les entiers relatifs, ℚ pour les rationnels et ℝ pour les réels.
Combiner deux ensembles
Quatre opérations couvrent presque toutes les questions :
- Réunion, A ∪ B : tout ce qui est dans A ou dans B, ou dans les deux. C'est le mot « ou ». Rien n'est listé deux fois : 2, 4, 6 et 12 n'apparaissent qu'une fois alors qu'ils sont dans les deux ensembles.
- Intersection, A ∩ B : seulement ce qui est dans les deux ensembles à la fois. C'est le mot « et ».
- Différence, A \ B : ce qui est dans A mais pas dans B. L'ordre compte, car B \ A = {8, 10} alors que A \ B = {1, 3}. Certains manuels l'écrivent avec un signe moins.
- Complémentaire, A′ : tout ce qui est dans l'ensemble universel mais pas dans A. Sans ensemble universel, le complémentaire n'est pas défini, et c'est pourquoi chaque diagramme de Venn est entouré d'un rectangle.
La différence symétrique, A △ B, est la réunion privée de l'intersection : les éléments qui sont dans exactement un des deux ensembles.
Appartenance ou inclusion
Ce sont les deux symboles les plus souvent confondus du chapitre, parce que tous deux répondent à la question « est-ce que c'est dedans ? ».
- ∈ relie un élément à un ensemble : 2 ∈ A.
- ⊆ relie un ensemble à un ensemble : {2} ⊆ A.
Écrire « 2 ⊆ A » est faux, car 2 est un nombre et non un ensemble, et écrire « {2} ∈ A » est faux pour la raison inverse, car A contient le nombre 2 et non l'ensemble {2}.
Un ensemble est inclus dans un autre quand chacun de ses éléments est dans l'autre. Un seul élément manquant suffit à rendre l'inclusion fausse : A n'est pas inclus dans B, car 1 est dans A mais pas dans B. L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, puisqu'il n'a aucun élément qui pourrait manquer.
Compter avec un diagramme de Venn
Le nombre d'éléments d'un ensemble, son cardinal, s'écrit avec des barres verticales : |A| = 6. Pour compter une réunion, additionnez les deux ensembles et retirez la partie commune, qui a été comptée deux fois :
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Avec les ensembles ci-dessus, cela fait 6 + 6 moins 4, soit 8, comme en comptant directement la réunion. C'est le principe d'inclusion-exclusion, et c'est ainsi qu'on répond aux questions d'enquête du type « combien d'élèves étudient l'allemand ou l'espagnol ».
La réponse est 18 + 12 moins 5, soit 25. Si vous avez trouvé 30, les 5 élèves qui pratiquent les deux ont été comptés deux fois.
Ensembles et logique, c'est la même chose
La réunion, c'est « ou », l'intersection, c'est « et », et le complémentaire, c'est « non ». Ce n'est pas une vague analogie : un élément est dans A ∩ B exactement quand l'énoncé « il est dans A et il est dans B » est vrai. La page sur les mathématiques discrètes construit les tables de vérité de ces mots, et le même diagramme de Venn colorie les deux.
Questions fréquentes
- Que signifie ∈ ?
- ∈ signifie « appartient à ». 3 ∈ A dit que 3 est l'un des éléments de l'ensemble A. Barré, ∉ signifie « n'appartient pas à » : 5 ∉ A dit que 5 n'est pas dans A. Le symbole est un epsilon grec stylisé, pour le mot élément.
- Quelle différence entre ∈ et ⊆ ?
- ∈ relie un élément à un ensemble, et ⊆ relie un ensemble à un ensemble. Si A = {1, 2, 3}, alors 2 ∈ A et {2} ⊆ A sont vrais tous les deux, mais 2 ⊆ A est faux, car 2 est un nombre et non un ensemble. Lisez ⊆ comme « est inclus dans » : chaque élément de l'ensemble de gauche est aussi dans l'ensemble de droite.
- Qu'est-ce qu'un ensemble défini en compréhension ?
- Une façon de décrire un ensemble par une règle plutôt que par une liste. {x | x > 3} se lit « l'ensemble des x tels que x est supérieur à 3 ». La barre verticale, ou un deux-points dans certains manuels, signifie « tel que ». C'est la seule façon pratique d'écrire un ensemble qui a une infinité d'éléments.
- Quelle différence entre réunion et intersection ?
- La réunion A ∪ B contient tout ce qui est dans A ou dans B, ou dans les deux. L'intersection A ∩ B ne contient que ce qui est à la fois dans A et dans B. Sur un diagramme de Venn, la réunion est l'ensemble des deux cercles et l'intersection la lentille où ils se chevauchent : l'intersection est donc toujours contenue dans la réunion.
- Comment écrit-on le complémentaire d'un ensemble ?
- La plupart des manuels écrivent A′ (A prime), Aᶜ ou A surmonté d'une barre. Les trois veulent dire la même chose : tous les éléments de l'ensemble universel U qui ne sont pas dans A. Le complémentaire dépend de U : vérifiez toujours quel est l'ensemble universel avant de lister le complémentaire.
- Que signifie ∅ ?
- ∅ est l'ensemble vide, l'ensemble qui n'a aucun élément. On peut aussi l'écrire {}. Il est inclus dans tout ensemble, car il n'a aucun élément qui pourrait manquer à un autre ensemble. Attention : {∅} n'est pas vide, c'est un ensemble à un élément, et cet élément est l'ensemble vide.
- Quelle différence entre ⊂ et ⊆ ?
- ⊆ signifie « est inclus dans » et permet aux deux ensembles d'être égaux. ⊂ désigne souvent une inclusion stricte, c'est-à-dire un sous-ensemble plus petit que l'autre ensemble. Les manuels ne sont pas d'accord : beaucoup, notamment en France, utilisent ⊂ pour n'importe quelle inclusion et écrivent ⊊ quand l'inclusion est stricte. Quand cela compte, vérifiez la convention de votre cours.
