Qu'est-ce qu'une droite d'ajustement ?

Une droite tracée à travers un nuage de points pour résumer la tendance des points. Au sens précis, la droite d'ajustement est la droite de régression des moindres carrés : de toutes les droites possibles, celle dont les écarts verticaux aux points, élevés au carré puis additionnés, donnent le plus petit total.

Comment trouver la droite d'ajustement ?

Calculez la moyenne des x et la moyenne des y. La pente est la somme des (x moins la moyenne des x) fois (y moins la moyenne des y), divisée par la somme des (x moins la moyenne des x) au carré. L'ordonnée à l'origine est la moyenne des y moins la pente fois la moyenne des x. Pour x = 2, 4, 6, 8, 10 et y = 3, 7, 8, 12, 15, cela donne une pente de 58/40 = 1,45 et une ordonnée à l'origine de 9 moins 1,45 × 6 = 0,3, soit y = 1,45x + 0,3.

La droite d'ajustement doit-elle passer par l'origine ?

Non. Elle passe par le point moyen, pas par l'origine. La forcer à passer par (0, 0) est un autre modèle, qu'on n'utilise que lorsqu'une raison impose que y vaille 0 quand x vaut 0, et qui ajuste en général moins bien les points.

La droite d'ajustement doit-elle passer par certains points ?

Non, et en général elle ne passe par aucun. Le seul point par lequel elle passe toujours est (moyenne des x, moyenne des y), et ce point ne fait souvent pas partie des données. Une droite tracée pour toucher le plus de points possible n'est pas la droite des moindres carrés.

Quelle différence entre interpolation et extrapolation ?

L'interpolation consiste à prédire y pour un x situé dans l'intervalle des données, là où la droite a des points des deux côtés pour l'appuyer. L'extrapolation consiste à prédire en dehors de cet intervalle, là où rien dans les données ne dit que la tendance continue. L'interpolation est en général fiable quand l'ajustement est bon ; l'extrapolation peut être très fausse même avec r proche de 1.

La droite d'ajustement est-elle la même chose que la régression linéaire ?

Oui, au sens habituel. La régression linéaire est la méthode, et la droite des moindres carrés qu'elle produit est la droite d'ajustement. Au collège et au lycée, on appelle aussi droite d'ajustement une droite tracée à l'œil sur un graphique, mais ce n'est qu'une estimation de la droite de régression, pas la droite elle-même.

Droite d'ajustement

À travers n'importe quel nuage de points, il existe exactement une droite qui les manque le moins, au sens des moindres carrés. Déplacez les points : elle bouge pour rester la meilleure.

Par Nethanel Bar, Cofondateur et PDG

Dernière mise à jour 23 septembre 2026

Représentez n'importe quelles données réelles et les points refusent de s'aligner. On peut quand même tracer à travers le nuage une droite qui saisit la tendance, et plusieurs personnes munies d'une règle en traceront de légèrement différentes. La droite d'ajustement tranche la question : il existe une droite qui est la meilleure selon une mesure précise, et une formule pour la trouver.

Déplacez n'importe quel point ci-dessous et la droite bouge pour rester le meilleur ajustement. Éloignez un point des autres et remarquez avec quelle force il attire la droite vers lui.

y = x + 1pente1ordonnée à l'origine1

Déplacez n'importe quel point et la droite bouge pour rester le meilleur ajustement. Les points éloignés des autres la tirent le plus fort.

Ce que veut dire « la meilleure »

Une droite manque chaque point d'une distance verticale : le y réel du point moins le y prédit par la droite pour ce x. Cette distance est le résidu du point. Une bonne droite doit rendre les résidus petits, mais on ne peut pas simplement les additionner : les écarts au-dessus de la droite sont positifs, ceux au-dessous sont négatifs, et ils s'annulent.

Chaque résidu est donc d'abord élevé au carré, ce qui fait compter chaque écart et fait compter un grand écart beaucoup plus qu'un petit. La droite d'ajustement est la droite qui rend la somme des carrés des résidus la plus petite possible. C'est pourquoi on l'appelle droite des moindres carrés, et pour tout ensemble de points dont les valeurs de x ne sont pas toutes égales, il en existe exactement une.

Les deux formules

Écrivez la droite y = mx + b, et notez x̄ et ȳ les moyennes des données. Minimiser la somme des carrés donne directement la pente et l'ordonnée à l'origine :

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

Le numérateur de la formule de la pente est la même somme de produits que celle du numérateur du coefficient de corrélation : c'est pourquoi la pente et r ont toujours le même signe. Le dénominateur ne fait intervenir que x : il mesure la dispersion des valeurs de x.

Un exemple résolu

Cinq points : x = 2, 4, 6, 8, 10 et y = 3, 7, 8, 12, 15. La moyenne des x vaut 6 et celle des y vaut 9.

x	y	x - 6	y - 9	produit	(x - 6)²
2	3	-4	-6	24	16
4	7	-2	-2	4	4
6	8	0	-1	0	0
8	12	2	3	6	4
10	15	4	6	24	16
			total	58	40

La pente vaut m = 58/40 = 29/20, soit 1,45. Pour l'ordonnée à l'origine, remplacez le point moyen dans l'équation de la droite et résolvez en b :

Donc b = 3/10 et la droite d'ajustement est y = 1.45x + 0.3. La calculatrice de régression linéaire fait le même travail avec la forme des formules en sommes cumulées et affiche chaque somme.

Elle passe toujours par le point moyen

Réarrangez la formule de l'ordonnée à l'origine et vous obtenez ȳ = m x̄ + b. Autrement dit, le point (x̄, ȳ) est exactement sur la droite, quelles que soient les données. Dans l'exemple, 1,45 × 6 + 0,3 = 9.

C'est une vérification utile pour toute droite que vous calculez, et un bon point de départ quand vous en tracez une à l'œil : placez d'abord le point moyen, puis faites pivoter la règle autour de lui jusqu'à ce que les points s'équilibrent de part et d'autre.

Passer par le point moyen ne suffit pas à lui seul, cependant. Pour x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, le point moyen est (3, 4) et la droite des moindres carrés est y = 0.6x + 2.2, avec une somme des carrés des résidus de 2,4. Les droites y = 0.5x + 2.5 et y = x + 1 passent elles aussi par (3, 4), et leurs sommes des carrés valent 2,5 et 4. Parmi toutes les droites passant par ce point, seule la pente 0,6 descend jusqu'à 2,4.

Prédire avec la droite

Une fois la droite connue, une prédiction est une simple substitution. Avec y = 1.45x + 0.3, un x de 7 donne 1,45 × 7 + 0,3 = 10,45.

Cette prédiction est une interpolation : 7 se trouve dans les données, entre les points en 6 et en 8, donc des éléments des deux côtés indiquent que la tendance tient à cet endroit. Une prédiction hors de l'intervalle des données est une extrapolation, et rien dans les données ne l'appuie.

Un cas concret. Six élèves ont révisé de 1 à 6 heures et obtenu 52, 58, 61, 67, 70 et 76. La droite d'ajustement est y = 162/35x + 47.8, une pente d'environ 4,63 points par heure, avec r ≈ 0,9959. Dans les données, elle prédit bien : 4,5 heures donnent environ 68,63. Extrapolez à 12 heures et elle prédit environ 103,34, à un contrôle noté sur 100. La droite n'y est pour rien : la tendance qu'elle décrit s'arrête simplement quelque part après les données, et la droite ne peut pas savoir où.

Quand une droite n'a pas la bonne forme

Une droite d'ajustement existe toujours, même quand une droite est le mauvais modèle. Les carrés 0, 1, 4, 9, 16, 25 en x = 0 à 5 ont pour droite d'ajustement y = 5x - 10/3 avec r ≈ 0,9599, ce qui semble excellent, et pourtant les points sont sur une courbe. Les résidus la trahissent : positifs aux deux bouts et négatifs au milieu. La page sur les résidus montre comment lire ce motif, et la calculatrice de régression quadratique ajuste la courbe à la place.

À vous

Le point réel en x = 4 est (4, 7) : la droite le manque de 0,9. Cet écart est le résidu du point, et la somme des cinq écarts au carré, 1,9, est la plus petite qu'une droite puisse atteindre pour ces points.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une droite d'ajustement ?: Une droite tracée à travers un nuage de points pour résumer la tendance des points. Au sens précis, la droite d'ajustement est la droite de régression des moindres carrés : de toutes les droites possibles, celle dont les écarts verticaux aux points, élevés au carré puis additionnés, donnent le plus petit total.
Comment trouver la droite d'ajustement ?: Calculez la moyenne des x et la moyenne des y. La pente est la somme des (x moins la moyenne des x) fois (y moins la moyenne des y), divisée par la somme des (x moins la moyenne des x) au carré. L'ordonnée à l'origine est la moyenne des y moins la pente fois la moyenne des x. Pour x = 2, 4, 6, 8, 10 et y = 3, 7, 8, 12, 15, cela donne une pente de 58/40 = 1,45 et une ordonnée à l'origine de 9 moins 1,45 × 6 = 0,3, soit y = 1,45x + 0,3.
La droite d'ajustement doit-elle passer par l'origine ?: Non. Elle passe par le point moyen, pas par l'origine. La forcer à passer par (0, 0) est un autre modèle, qu'on n'utilise que lorsqu'une raison impose que y vaille 0 quand x vaut 0, et qui ajuste en général moins bien les points.
La droite d'ajustement doit-elle passer par certains points ?: Non, et en général elle ne passe par aucun. Le seul point par lequel elle passe toujours est (moyenne des x, moyenne des y), et ce point ne fait souvent pas partie des données. Une droite tracée pour toucher le plus de points possible n'est pas la droite des moindres carrés.
Quelle différence entre interpolation et extrapolation ?: L'interpolation consiste à prédire y pour un x situé dans l'intervalle des données, là où la droite a des points des deux côtés pour l'appuyer. L'extrapolation consiste à prédire en dehors de cet intervalle, là où rien dans les données ne dit que la tendance continue. L'interpolation est en général fiable quand l'ajustement est bon ; l'extrapolation peut être très fausse même avec r proche de 1.
La droite d'ajustement est-elle la même chose que la régression linéaire ?: Oui, au sens habituel. La régression linéaire est la méthode, et la droite des moindres carrés qu'elle produit est la droite d'ajustement. Au collège et au lycée, on appelle aussi droite d'ajustement une droite tracée à l'œil sur un graphique, mais ce n'est qu'une estimation de la droite de régression, pas la droite elle-même.