Coefficient de corrélation

Mettez deux mesures côte à côte, les heures de sommeil et le temps de réaction, ou la température et les ventes de glaces, et représentez l'une en fonction de l'autre. Parfois les points montent de gauche à droite, parfois ils descendent, parfois ils forment un nuage sans forme. Le coefficient de corrélation r transforme cette impression en un seul nombre compris entre -1 et 1.

Déplacez les points ci-dessous. Les deux lignes en pointillés marquent la moyenne des x et la moyenne des y, et chaque point est coloré selon sa position par rapport à elles. Essayez d'abord les trois préréglages, puis éloignez un seul point du reste et regardez ce que cela fait à r.

Ce que dit le nombre

r est toujours compris entre -1 et 1, et il porte deux informations distinctes.

Le signe est le sens. Un r positif signifie que lorsque x est plus grand, y tend à être plus grand aussi. Un r négatif signifie que lorsque x est plus grand, y tend à être plus petit. Il ne dit rien de la raideur de la tendance : une droite qui monte doucement et une droite qui monte fortement peuvent toutes deux avoir r = 1.

La taille dit à quel point les points collent à une droite. À exactement 1 ou -1, tous les points sont sur une même droite. À 0, il n'y a aucune tendance rectiligne.

Le graphique ci-dessus qualifie r avec les seuils qu'utilisent la plupart des manuels :

Ces bornes sont une convention, pas un théorème. Elles servent à décrire un résultat avec des mots, et chaque domaine les déplace : un physicien qui mesure r = 0,9 entre deux grandeurs censées être exactement proportionnelles a un problème, alors qu'un psychologue qui trouve r = 0,4 entre deux traits de caractère tient un résultat.

D'où vient la formule

Chaque point se trouve dans l'une des quatre zones délimitées par les deux moyennes en pointillés. Un point en haut à droite du centre a son x au-dessus de sa moyenne et son y au-dessus de sa moyenne. En haut à gauche, x est au-dessous et y au-dessus. Toute la formule repose sur cette image :

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

Regardez d'abord le numérateur. Pour chaque point, multipliez l'écart de x à sa moyenne par l'écart de y à sa moyenne. Dans les zones en haut à droite et en bas à gauche, les deux écarts ont le même signe : le produit est positif. Dans les deux autres zones, les signes diffèrent et le produit est négatif. La somme des produits a donc le signe de r, et c'est pourquoi les couleurs du graphique donnent le sens avant le nombre : les points bleus font monter r et les points orange le font baisser.

Le dénominateur ne fait que remettre à l'échelle. Il divise par la dispersion des x et celle des y : le résultat ne dépend plus des unités et ne peut pas dépasser 1 dans un sens ni dans l'autre.

Le calcul à la main

Prenez cinq points : x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5. La moyenne des x vaut 3 et celle des y vaut 4.

Donc r = 6/√60 = √15/5, soit environ 0,7746 : une corrélation forte et positive.

Remarquez que la réponse exacte est une racine carrée. Ici r² vaut exactement 3/5, une simple fraction, et r en est la racine carrée, avec le signe du numérateur. C'est pourquoi la calculatrice de coefficient de corrélation affiche r sous forme de radical avec sa valeur décimale à côté, plutôt qu'un décimal arrondi seul.

Beaucoup de manuels donnent la même formule sous une forme qui n'utilise que des sommes cumulées, sans soustraire les moyennes d'abord :

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

Pour les mêmes cinq points, n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 et Σy² = 86. Le numérateur vaut 5 × 66 moins 15 × 20 = 30, et les deux parenthèses du dénominateur valent 50 et 30 : r = 30 / √1500, le même √15/5.

r et r²

Élevez r au carré et vous obtenez r², le coefficient de détermination. Pour les cinq points ci-dessus, r² = 0,6. Il se lit comme une part : la droite d'ajustement de ces points explique 60 % de la variation de y, et les 40 % restants sont une dispersion que la droite ne peut pas expliquer.

Les deux nombres répondent à des questions différentes. r donne à la fois le sens et la force, ce qu'on veut pour décrire une relation. r² perd le signe : r = -0,9 et r = 0,9 donnent tous deux 0,81, et c'est le nombre à citer quand la question est de savoir ce qu'une droite explique. Il est aussi toujours plus petit que |r|, sauf si r vaut 0 ou ±1 : un r de 0,5 qui paraît respectable devient un r² de 0,25, et la droite n'explique qu'un quart de la variation.

Corrélation n'est pas causalité

Un r fort dit que deux grandeurs varient ensemble dans ces données. Il ne dit pas pourquoi, et il existe trois raisons courantes qui n'ont rien à voir avec le fait que l'une cause l'autre.

• Une troisième grandeur agit sur les deux. Les ventes de glaces et les noyades montent et baissent ensemble. La chaleur provoque les deux.
• La cause va dans l'autre sens. Les éoliennes tournent plus vite les jours de vent fort. C'est le vent qui fait tourner les éoliennes ; les éoliennes ne font pas le vent.
• La coïncidence. Comparez assez de séries sans rapport et certaines s'aligneront par hasard, surtout sur quelques années seulement.

Montrer que x cause y demande ce qu'une corrélation ne peut pas fournir : une expérience contrôlée, ou un raisonnement sur le mécanisme qui écarte les autres explications.

Ce que r ne voit pas

Le nombre est un résumé, et un résumé cache des choses. Trois méritent d'être connues.

Les courbes. Les points (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) sont exactement sur y = x^2, et leur coefficient de corrélation vaut exactement 0. La moitié gauche descend, la moitié droite monte, et les produits s'annulent. r ne mesure que les relations rectilignes : une courbe parfaite peut n'obtenir aucun score.

Les valeurs aberrantes. Partez des cinq points ci-dessus, r ≈ 0,7746, et ajoutez un seul point en (10, 0). Le nouveau r vaut environ -0,5529. Un seul point a inversé le signe. Cela marche aussi dans l'autre sens : x = 1 à 5 avec y = 3, 1, 4, 1, 5 a un r faible, r ≈ 0,3536, et ajouter un point en (12, 12) le fait monter à environ 0,9084 sans rien changer aux cinq autres. Essayez les deux sur le graphique : amenez un point dans un coin et regardez r.

Ce qui ne compte pas. Changer d'unités ne modifie pas r. Mesurez x en centimètres au lieu de mètres, ou multipliez chaque x par 10, et r vaut toujours √15/5. Échanger la variable en x et la variable en y ne change pas r non plus, contrairement à la droite d'ajustement, qui change quand on les échange.

Regardez donc le nuage de points avant de citer r, et vérifiez les résidus de la droite ajustée pour y chercher un motif que le nombre cacherait.

À vous

Deux grandeurs ont un coefficient de corrélation r = -0,9. Combien vaut r² ?

La réponse est positive alors que r est négatif, et elle est plus petite que 0,9. Si vous avez trouvé -0,81, le signe a été conservé dans le carré ; si vous avez trouvé 0,9, le carré a été oublié. Pour trouver r sur vos propres données, collez les deux colonnes dans la calculatrice de coefficient de corrélation, qui montre le tableau des sommes et la formule remplie.