最佳拟合直线

把任何真实数据画出来，这些点都不肯乖乖落在一条直线上。你仍然可以穿过这团点画一条直线来表现趋势，但不同的人拿着尺子，画出的线会略有不同。最佳拟合直线结束了这场争论：按一个精确的标准，有一条直线是最好的，而且有公式能把它找出来。

拖动下面任意一个点，直线会跟着移动，始终保持最佳拟合。把一个点拉得离其他点很远，看看它把直线往自己这边拽得有多厉害。

“最佳”是什么意思

直线与每个点之间都有一段竖直距离：该点的实际 y 值，减去直线在这个 x 处预测的 y 值。这段距离就是这个点的残差。好的直线应该让残差都很小，但不能直接把残差加起来，因为直线上方的偏差是正的，下方的偏差是负的，它们会相互抵消。

所以先把每个残差平方，这样每一次偏离都会被算进去，而且大的偏离比小的偏离分量重得多。最佳拟合直线就是让残差平方和尽可能小的那条直线。这就是它被称为最小二乘直线的原因，而且只要这些点的 x 值不全相同，这样的直线有且只有一条。

两个公式

把直线写成 y = mx + b，数据的平均数记作 x̄ 和 ȳ。让平方和最小，就能直接得到斜率和截距：

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

斜率公式的分子，和相关系数公式分子上的乘积之和是同一个，所以斜率和 r 的符号总是相同。分母只和 x 有关：它衡量的是 x 值有多分散。

一个完整的例子

五个点：x = 2、4、6、8、10，y = 3、7、8、12、15。x 的平均数是 6，y 的平均数是 9。

斜率是 m = 58/40 = 29/20，也就是 1.45。求截距时，把平均数点代入直线方程，解出 b：

9 = (29/20)(6) + b

所以 b = 3/10，最佳拟合直线是 y = 1.45x + 0.3。线性回归计算器用公式的累加和形式做同样的计算，并列出每一个和。

它总是经过平均数点

把截距公式移项，得到 ȳ = m x̄ + b。这说明无论数据是什么，点 (x̄, ȳ) 都恰好在这条直线上。在上面的例子中，1.45 × 6 + 0.3 = 9。

这可以用来检查你算出的任何直线，也是用眼睛估画直线时的好起点：先标出平均数点，再绕着它转动尺子，直到两侧的点大致平衡。

不过，仅仅经过平均数点还不够。当 x = 1、2、3、4、5，y = 2、4、5、4、5 时，平均数点是 (3, 4)，最小二乘直线是 y = 0.6x + 2.2，残差平方和为 2.4。直线 y = 0.5x + 2.5 和 y = x + 1 也都经过 (3, 4)，它们的残差平方和分别是 2.5 和 4。在所有经过这个点的直线中，只有斜率为 0.6 的那条能降到 2.4。

用直线做预测

有了直线，预测就是代入。用 y = 1.45x + 0.3，x 取 7 时得到 1.45 × 7 + 0.3 = 10.45。

这个预测是内插：7 在数据范围以内，位于 6 和 8 两个点之间，两侧都有证据表明趋势在那里成立。在数据范围以外做预测就是外推，数据中没有任何证据支撑它。

举个具体的例子。六名学生分别学习了 1 到 6 小时，得分为 52、58、61、67、70 和 76。最佳拟合直线是 y = 162/35x + 47.8，斜率约为每小时 4.63 分，r ≈ 0.9959。在数据范围内它预测得很好：4.5 小时约得 68.63 分。外推到 12 小时，它预测约 103.34 分，而试卷满分只有 100 分。直线本身没有问题，只是它描述的趋势在数据之外的某处就停止了，而直线无从知道是在哪里。

直线不是合适形状的时候

最佳拟合直线总是存在的，即使直线根本不是合适的模型。在 x = 0 到 5 处取平方数 0、1、4、9、16、25，它们的最佳拟合直线是 y = 5x - 10/3，r ≈ 0.9599，听起来非常好，可这些点其实落在一条曲线上。残差会暴露这一点：两端为正，中间为负。残差页面讲了怎样解读这种规律，而二次回归计算器可以改为拟合这条曲线。

试一题

最佳拟合直线是 y = 1.45x + 0.3。当 x = 4 时，它的预测值是多少？

x = 4 处的实际点是 (4, 7)，所以直线与它相差 0.9。这个偏差就是该点的残差，而五个偏差的平方和 1.9，是任何直线对这些点所能达到的最小值。