Eliminasi langkah demi langkah, dengan kedua garis digambar dan titik potongnya ditandai.
Terakhir diperbarui
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Dua persamaan dalam x dan y adalah dua garis pada bidang yang sama. Pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan adalah titik yang terletak pada kedua garis, jadi itulah titik potongnya. Hanya itu idenya, dan ide itu menjelaskan setiap kasus sekaligus: garis yang berpotongan sekali memberi satu solusi, garis sejajar tidak memberi solusi, dan garis yang digambar dua kali memberi tak hingga banyak solusi.
Eliminasi dan substitusi hanyalah cara mencari titik potong itu tanpa menggambarnya. Halaman ini mengerjakan keduanya: gambarnya, supaya kamu bisa melihat arti jawabannya, dan eliminasi yang ditulis baris demi baris, supaya kamu bisa melihat cara menemukannya. Kebanyakan kalkulator hanya memberi salah satunya.
Kedua kasus khusus disebutkan namanya, bukan dilaporkan sebagai kegagalan. "Tidak ada solusi" dan "tak hingga banyak solusi" adalah jawaban sungguhan dengan arti sungguhan, dan pemecah yang mengangkat bahu menghadapinya mengajarimu untuk takut pada soalnya. Di sini bentuknya ditentukan dari koefisien, jadi halaman ini bisa memberitahumu kasus mana yang kamu hadapi walaupun tidak ada satu pasangan pun untuk dicetak.
Tulis seperti di kertas: 2x + y = 5 di baris pertama, x - y = 1 di baris kedua. Pecahan dan desimal pada koefisien boleh dipakai.
Pasangannya ada di bagian atas. Di bawahnya, sebuah kalimat menyebutkan bentuk geometris sistemnya: satu titik potong, sejajar, atau garis yang sama dua kali.
Garis-garisnya digambar dengan titik potong yang ditandai. Jika jawabannya mengejutkanmu, gambarnya biasanya menjelaskan lebih cepat daripada aljabarnya.
Langkah-langkah bernomor menunjukkan variabel mana yang dihilangkan, bagaimana caranya, dan apa yang tersisa. Itulah metode yang diminta untuk kamu ulangi.
Setiap sistem 2x2 termasuk salah satunya, dan kamu bisa tahu yang mana dari garis-garisnya sebelum mengerjakan aljabar apa pun.
| Kasus | Garisnya | Contoh |
|---|---|---|
| Satu solusi | Berpotongan sekali | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| Tidak ada solusi | Sejajar, titik potong berbeda | x + y = 3, x + y = 5 |
| Tak hingga banyak | Garis yang sama dua kali | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| Hanya satu persamaan | Seluruh garis adalah solusi | 2x + 3y = 7 |
| Tiga variabel | Bidang, bukan garis | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
2x + y = 5; x - y = 1Menjumlahkan kedua persamaan langsung menghilangkan y, karena +y dan -y saling menghapus: 3x = 6, jadi x = 2, lalu y = 1 dari persamaan mana pun. Gambarnya menunjukkan kedua garis berpotongan di (2, 1): satu titik, satu jawaban.
x + y = 3; x + y = 5Kurangkan dan kamu mendapat 0 = -2, yang tidak bisa diperbaiki oleh pasangan bilangan mana pun. Itu bukan pemecahnya yang gagal; itulah jawabannya. Kedua garis punya gradien sama dan titik potong berbeda, jadi tidak pernah bertemu dan sistemnya tidak punya solusi.
x + y = 3; 2x + 2y = 6Persamaan kedua adalah persamaan pertama yang dikali dua, jadi menggambar garis yang sama. Setiap titik pada garis itu memenuhi keduanya, artinya ada tak hingga banyak solusi. Di gambar kamu hanya melihat satu garis, karena memang hanya ada satu.
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2Mensubstitusi z = 2 dan x = y mengubah tiga persamaan menjadi satu, menghasilkan x = y = 2. Tidak ada gambar di sini, karena tiga variabel berupa bidang, bukan garis, tetapi eliminasinya adalah prosedur yang sama, satu variabel setiap kali.
Samakan koefisien salah satu variabel di kedua persamaan, lalu jumlahkan atau kurangkan untuk mengeliminasinya. Selesaikan satu persamaan yang tersisa, lalu substitusikan nilainya ke salah satu persamaan awal untuk mencari variabel lainnya. Terakhir, periksa pasangannya di kedua persamaan.
Eliminasi menggabungkan persamaan untuk menghilangkan satu variabel; substitusi mengubah satu persamaan untuk satu variabel lalu memasukkan ekspresi itu ke persamaan lainnya. Keduanya selalu memberi jawaban yang sama. Eliminasi biasanya lebih singkat saat koefisiennya rapi, substitusi saat salah satu persamaan sudah punya variabel yang berdiri sendiri.
Artinya kedua garis sejajar: gradiennya sama dan titik potongnya berbeda, jadi tidak ada titik yang terletak pada keduanya. Dalam aljabar, itu muncul sebagai pernyataan yang mustahil seperti 0 = -2. Itu jawaban yang lengkap, bukan kegagalan menemukan jawaban.
Artinya kedua persamaan menggambarkan garis yang sama, karena yang satu kelipatan dari yang lain. Setiap titik pada garis itu memenuhi kedua persamaan, jadi solusinya adalah seluruh garis, bukan satu pasangan. Kamu sering akan diminta menuliskannya dalam satu variabel.
Bisa, dan eliminasinya ditampilkan dengan cara yang sama: hilangkan satu variabel untuk turun ke sistem 2x2, selesaikan, lalu kerjakan mundur. Grafik hanya digambar untuk dua variabel, karena tiga variabel berupa bidang, dan gambar datar akan lebih menyesatkan daripada menjelaskan.
Karena gambarnya adalah artinya. Eliminasi adalah prosedur yang andal tetapi menyembunyikan apa yang terjadi; dua garis yang berpotongan di satu titik membuat jelas kenapa hanya ada tepat satu jawaban, dan kenapa garis sejajar tidak punya jawaban.
Ya, dan secara tepat. 0.5x + y = 3 dibaca sebagai setengah, dan jawaban sistem dengan koefisien pecahan keluar sebagai pecahan yang tepat, bukan desimal yang dibulatkan.
