Lingkaran Satuan
Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal. Titik di sudut mana pun pada lingkaran itu adalah (cos, sin), jadi satu tabel memuat setiap nilai istimewa sinus, kosinus, dan tangen.
Terakhir diperbarui
Tabel ini memberi sinus dan kosinus di keenam belas sudut istimewa, dalam derajat dan dalam radian. Ubah agar menampilkan tan juga, atau ke lingkaran kosong yang bisa kamu cetak dan isi sendiri.
Tabel lingkaran satuan
Nilai-nilai lingkaran satuan
Setiap nilai pada tabel di atas, dalam satu tabel. Tan adalah sin dibagi cos, jadi tan tidak punya nilai di tempat cos bernilai 0.
| Derajat | Radian | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | tidak terdefinisi |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | tidak terdefinisi |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Kenapa titiknya adalah (cos, sin)
Geser titik itu mengelilingi lingkaran dan perhatikan kedua sisi putus-putusnya.
Geser titiknya. Sisi hijau adalah cos dan sisi merah adalah sin, dan itulah sebabnya titik itu adalah (cos, sin).
Lingkaran ini berjari-jari 1, dan itulah seluruh triknya. Tarik garis dari pusat ke lingkaran dengan suatu sudut, lalu tarik garis tegak dari titik itu ke sumbu x. Sekarang kamu punya segitiga siku-siku dengan jari-jari sebagai sisi miringnya, jadi sisi miringnya 1.
Dalam segitiga itu, kosinus adalah sisi samping dibagi sisi miring. Sisi sampingnya adalah sisi siku-siku mendatar, dan sisi miringnya 1, jadi kosinus sama dengan sisi siku-siku mendatar. Argumen yang sama membuat sinus sama dengan sisi siku-siku tegak. Jadi titiknya adalah (cos(x), sin(x)): jarak mendatar dulu, lalu tegak, x sebelum y.
Tiga angka yang benar-benar kamu butuhkan
Kuadran pertama memuat setiap nilai yang dipakai lingkaran ini:
| sudut | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Hanya tiga nilai berbeda: 1/2, √2/2, dan √3/2. Perhatikan bahwa 30° dan 60° adalah pasangan yang sama dengan posisi tertukar. Kedua sudut itu berjumlah 90°, jadi segitiganya adalah segitiga yang sama, dilihat dari ujung yang lain.
Tanda di setiap kuadran
Setiap sudut di luar kuadran pertama memakai salah satu dari tiga angka itu dengan sebuah tanda. Untuk mencarinya, ambil sudut acuan, yaitu sudut antara garis dan sumbu x: 150° kurang 30° dari 180°, jadi sudut acuannya 30° dan nilainya adalah nilai 30° dengan tanda yang baru.
Tandanya berasal dari letak titiknya. Cos adalah jarak mendatar, jadi bernilai negatif di separuh kiri lingkaran. Sin adalah jarak tegak, jadi bernilai negatif di separuh bawah. Tabel di atas menandai setiap kuadran dengan tanda (cos, sin)-nya:
| kuadran | sudut | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° sampai 90° | + | + | + |
| II | 90° sampai 180° | − | + | − |
| III | 180° sampai 270° | − | − | + |
| IV | 270° sampai 360° | + | − | − |
Jadi 150° adalah (−√3/2, 1/2), dan 210°, yang sudut acuannya juga 30°, adalah (−√3/2, −1/2).
Lingkaran satuan dalam radian
Satu putaran penuh adalah 360°, dan juga 2π radian, karena keliling lingkaran berjari-jari 1 adalah 2π: satu radian adalah busur sepanjang satu jari-jari. Setengah putaran adalah 180° atau π.
Dari situ, sudut-sudut istimewa adalah pecahan dari setengah putaran. 30° adalah seperenam dari 180°, jadi nilainya π/6; 45° adalah seperempatnya, π/4; 60° sepertiganya, π/3. Penyebutnya menunjukkan berapa banyak sudut itu yang muat dalam setengah putaran, dan pembilangnya menghitungnya: 150° adalah lima perenam dari setengah putaran, 5π/6.
Tangen pada lingkaran satuan
Tan adalah perbandingan sin(x)/cos(x), yaitu gradien garis dari pusat ke titik itu. Di 45°, sin dan cos sama besar, jadi tan tepat 1. Di 30° nilainya √3/3 dan di 60° nilainya √3.
Di 90°, titiknya berada tepat di atas, di (0, 1), jadi cos bernilai 0 dan tan tidak terdefinisi: tidak ada bilangan yang sama dengan 1 dibagi 0, dan garis tegak tidak punya gradien. Hal yang sama terjadi di 270°. Di tempat lain mana pun, tan mengikuti aturan tanda: positif di tempat sin dan cos sepakat (kuadran I dan III), negatif di tempat keduanya berbeda. Versi tan dari tabel di atas menampilkan setiap nilainya.
Kuis dan latihan lingkaran satuan
Ubah lingkaran yang bisa digeser di atas ke Uji dirimu: nilainya disembunyikan, kamu menyebutkannya, lalu kamu memeriksanya. Atau jawab soal ini dari ingatan:
Untuk berlatih di kertas, cetak tabel kosongnya dan isi keenam belas titiknya. Kalau kamu bisa melakukannya dalam waktu kurang dari dua menit tanpa melihat, kamu sudah menguasai lingkaran satuan.
Pertanyaan umum
Apa itu lingkaran satuan?
Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal. Tarik garis dari pusat dengan suatu sudut dan tandai tempat garis itu memotong lingkaran: koordinat titik itu tepat (kosinus sudut itu, sinus sudut itu). Jadi lingkaran ini mengubah pertanyaan tentang segitiga menjadi pertanyaan tentang koordinat, yang jauh lebih mudah dibayangkan.
Apa saja nilai pada lingkaran satuan?
Pada enam belas sudut istimewa, setiap koordinat adalah salah satu dari 0, 1/2, √2/2, √3/2, atau 1, dengan tandanya. Di kuadran pertama: 30° adalah (√3/2, 1/2), 45° adalah (√2/2, √2/2), dan 60° adalah (1/2, √3/2). Setiap sudut istimewa lainnya mengulang salah satu pasangan ini dengan tanda sesuai kuadrannya. Tabel di halaman ini mencantumkan keenam belasnya, beserta tan.
Apakah ada lingkaran satuan yang bisa dicetak atau yang kosong?
Ada. Tabel di bagian atas halaman ini bisa diunduh sebagai PDF berukuran letter atau PNG dalam tiga versi: dengan koordinat, dengan koordinat dan tan, dan kosong. Versi kosong tetap memuat lingkaran, sumbu, dan enam belas titiknya, jadi kamu bisa mengisi sendiri setiap labelnya.
Kenapa titik pada lingkaran adalah (cos, sin), bukan (sin, cos)?
Karena kosinus mengukur jarak mendatar, dan koordinat x adalah koordinat mendatar. Tarik garis tegak dari titik itu ke sumbu x, dan kamu mendapat segitiga siku-siku dengan sisi miring 1. Sisi siku-siku mendatarnya berada di samping sudut, jadi panjangnya cos dibagi 1, yaitu cos saja. Sisi siku-siku tegaknya berada di depan sudut, jadi panjangnya sin.
Bagaimana cara mengingat lingkaran satuan?
Pelajari tiga angka dan satu aturan. Angkanya adalah 1/2, √2/2, dan √3/2, yaitu nilai-nilai di kuadran pertama. Aturannya adalah soal tanda: cos negatif di separuh kiri lingkaran dan sin negatif di separuh bawah. Setiap sudut lain adalah nilai kuadran pertama dengan tanda-tanda itu, yang dicari dari sudut acuannya.
Bagaimana cara mengubah derajat ke radian dan sebaliknya?
Satu putaran penuh adalah 360 derajat dan juga 2π radian, jadi setengah putaran adalah 180 derajat dan π radian. Kalikan derajat dengan π/180 untuk mendapat radian, atau kalikan radian dengan 180/π untuk mendapat derajat. Jadi 30° adalah π/6, 45° adalah π/4, 60° adalah π/3, dan 90° adalah π/2.
Kenapa tan tidak terdefinisi di 90 derajat?
Tan adalah sin dibagi cos. Di 90°, titiknya berada tepat di atas, di (0, 1), jadi cos bernilai 0, dan pembagian dengan 0 tidak punya jawaban. Hal yang sama terjadi di 270°. Di lingkaran, kamu juga bisa melihatnya: tan adalah gradien garis dari pusat, dan garis tegak tidak punya gradien.
