Sifat-Sifat Eksponen
Lima aturan yang disalin setiap siswa ke sebuah kartu, lalu separuhnya diterapkan dengan salah. Kalau ditulis sebagai perkalian berulang, tidak ada satu pun yang perlu dihafal.
Terakhir diperbarui
Semua orang menyalin sifat-sifat eksponen ke sebuah kartu, dan satu semester kemudian separuhnya diterapkan pada hal yang salah. Itu bukan kegagalan mengingat. Aturan yang hanya kamu hafal tidak memberimu cara untuk mengetahui apakah aturan itu berlaku, jadi aturan itu dipakai di mana saja yang sekilas terlihat cocok.
Solusinya adalah berhenti memperlakukannya sebagai aturan. Pilih salah satu di bawah ini dan baca baris tengahnya.
Baris tengah adalah buktinya. Setiap aturan ini jelas dengan sendirinya begitu pangkatnya ditulis sebagai perkalian berulang, jadi kamu tidak perlu mengandalkan ingatan untuk aturan-aturan itu.
Setiap aturan adalah soal menghitung
a^3 adalah singkatan. Arti sebenarnya adalah a · a · a: tiga salinan a yang dikalikan. Begitu kedua ruas sebuah aturan ditulis dengan cara itu, aturannya berhenti menjadi klaim dan berubah menjadi hitungan.
Perkalian: dua salinan di samping tiga salinan sama dengan lima salinan.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Kamu tidak menjumlahkan eksponennya karena ada aturan yang menyuruh. Kamu menjumlahkannya karena kamu sedang menghitung berapa banyak a yang ada di baris itu.
Pembagian: lima salinan per dua salinan, dan dua di antaranya saling mencoret.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Pangkat dari pangkat: tiga salinan dari "dua salinan" sama dengan enam salinan.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Tiga aturan, satu argumen. Orang tertukar antara "menjumlahkan" dan "mengalikan" karena yang mereka hafal adalah kata kerjanya, bukan hitungannya.
Pangkat nol dan negatif adalah keharusan, bukan pilihan
Dua aturan ini terasa seperti kesepakatan yang dipilih seseorang, padahal bukan.
Ambil a3/a3. Apa pun dibagi dirinya sendiri sama dengan 1. Tetapi aturan pembagian menyatakan bahwa hasilnya a^(3-3) = a^0. Keduanya menggambarkan pembagian yang sama, jadi a^0 = 1 adalah satu-satunya nilai yang membuat aturan-aturannya tetap konsisten.
Teruskan turun. Setiap kali eksponennya turun satu, hasilnya dibagi a sekali lagi:
| pangkat | nilai saat a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
Tidak ada yang berubah arah di nol; pembagian dua itu terus berlanjut. Hanya itulah arti eksponen negatif: a^-n = 1/a^n. Khususnya, eksponen negatif bukan bilangan negatif. 2^-3 sama dengan 1/8, yang bernilai positif.
Tiga kesalahan yang perlu disebut namanya
Basis yang berbeda tidak bisa digabungkan. 2^3 · 3^4 tetap seperti itu. Aturan-aturan ini tentang menghitung salinan dari hal yang sama, sedangkan keduanya menghitung dua hal yang berbeda.
Menjumlahkan suku bukan mengalikannya. x^2 + x^3 bukan x^5. Tuliskan saja: dua salinan ditambah tiga salinan bukan lima salinan, melainkan jumlah dari dua besaran yang berbeda. Tidak ada yang dicoret, tidak ada yang digabung.
Pangkat bersifat distributif terhadap perkalian, bukan terhadap penjumlahan. (ab)^2 = a2b2 memang benar: dua salinan ab berarti dua a dan dua b. Tetapi (a+b)^2 bukan a^2 + b^2; bentuk itu dijabarkan menjadi a^2 + 2ab + b^2, dan suku tengahnya persis seperti yang diramalkan sifat distributif.
Coba satu soal
Kalau kamu langsung mengambil kalkulator, coba lagi dengan mencoret: empat salinan 3 per dua salinan 3 menyisakan dua salinan, dan dua salinan 3 sama dengan 9. Cara inilah yang tetap berhasil ketika basisnya x, bukan 3.
Ke mana selanjutnya
Sifat-sifat eksponen adalah yang membuat hitungan notasi ilmiah berjalan, yang mengubah akar menjadi pangkat pecahan, dan yang membuat logaritma bisa mengubah perkalian menjadi penjumlahan. Ketiganya adalah lima aturan yang sama, dibaca dari arah yang berbeda. Itu alasan yang bagus untuk memahaminya lewat argumen, bukan lewat hafalan.
Pertanyaan umum
Apa saja sifat-sifat eksponen?
Ada lima yang menopang hampir semuanya: mengalikan pangkat dengan basis yang sama berarti menjumlahkan eksponennya, membagi berarti mengurangkannya, memangkatkan pangkat berarti mengalikannya, apa pun yang dipangkatkan 0 sama dengan 1, dan eksponen negatif berarti satu per eksponen positifnya. Kelimanya adalah akibat dari menulis pangkat sebagai perkalian berulang.
Kenapa bilangan apa pun pangkat nol sama dengan 1?
Karena aturan pembagian. Bilangan apa pun dibagi dirinya sendiri sama dengan 1, dan aturan pembagian menyatakan bahwa pembagian yang sama itu adalah basisnya dipangkatkan eksponen dikurangi dirinya sendiri, yaitu 0. Kedua pernyataan menggambarkan pembagian yang sama, jadi a pangkat 0 harus sama dengan 1. Ini keharusan, bukan ketetapan. Satu-satunya pengecualian adalah 0 pangkat 0, yang dibiarkan tidak terdefinisi.
Apa arti eksponen negatif?
Eksponen negatif berarti kebalikan, bukan bilangan negatif. 2 pangkat -3 sama dengan 1/8, yang bernilai positif. Terus bagi dengan basisnya saat eksponennya turun, 8, 4, 2, 1, dan kalau diteruskan melewati 1 hasilnya 1/2, 1/4, 1/8. Eksponen negatif menunjukkan berapa kali kamu harus membagi, bukan mengalikan.
Kapan eksponen boleh dijumlahkan dan kapan tidak?
Hanya kalau basisnya identik dan kamu sedang mengalikan. 2 pangkat 3 dikali 2 pangkat 4 sama dengan 2 pangkat 7, tetapi 2 pangkat 3 dikali 3 pangkat 4 sama sekali tidak bisa digabungkan, karena keduanya menghitung hal yang berbeda. Menjumlahkan eksponen saat menjumlahkan suku adalah kesalahan paling umum di sini: x kuadrat ditambah x pangkat 3 bukan x pangkat 5.
Apakah (a + b) kuadrat sama dengan a kuadrat ditambah b kuadrat?
Tidak, dan kesalahan inilah yang perlu disebut namanya. Kuadrat bersifat distributif terhadap perkalian, bukan terhadap penjumlahan. (ab) kuadrat memang sama dengan a kuadrat dikali b kuadrat, tetapi (a + b) kuadrat dijabarkan menjadi a kuadrat ditambah 2ab ditambah b kuadrat. Suku tengah yang hilang itulah yang ditunjukkan oleh kotak FOIL.
Ingin mencobanya dengan angkamu sendiri?
Penyelesai Persamaan Buka kalkulator