Bilangan Kuadrat Sempurna
Kuadrat sempurna bukan bilangan dengan sifat istimewa yang harus kamu cari di buku. Itu adalah banyaknya benda yang bisa disusun menjadi persegi sungguhan, dan semua hal lain berawal dari situ.
Terakhir diperbarui
"Kuadrat sempurna" terdengar seperti label yang diberikan seseorang pada sederet bilangan yang sekarang harus kamu hafal. Padahal bukan. Nama itu menggambarkan sebuah bentuk, dan begitu kamu bisa melihat bentuknya, daftarnya sama sekali tidak perlu dihafal lagi.
Geser slider-nya. Perhatikan apa yang ditambahkan setiap kali.
Geser slider satu langkah. Bentuk L yang diarsir adalah yang ditambahkan. Hitung, dan kamu mendapat selisih antara dua kuadrat yang berurutan.
Namanya harfiah
6^2 = 36 tidak berarti "6 sudah melewati operasi kuadrat". Artinya: ambil 36 persegi satuan, dan kamu bisa menyusunnya menjadi persegi dengan sisi 6. Ambil 35, dan kamu tidak bisa: selalu ada lubang atau sisa yang menonjol. Itulah seluruh definisinya, dan itulah sebabnya namanya "kuadrat" (persegi), bukan sesuatu yang abstrak.
Baca gambar yang sama secara terbalik, dan kamu mendapat akar kuadrat. sqrt(36) = 6 adalah pertanyaan "kalau 36 persegi membentuk sebuah persegi, berapa panjang sisinya?" Sebuah bilangan punya akar kuadrat berupa bilangan bulat tepat ketika bilangan itu kuadrat sempurna, dan itulah sebabnya kedua gagasan ini selalu diajarkan bersama.
Daftar yang layak diketahui
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Dua puluh baris sudah mencakup hampir semua soal sekolah, karena soal disusun mundur dari jawaban yang bisa diperiksa orang.
Selisihnya adalah bilangan ganjil
Inilah fakta yang sebenarnya ingin ditunjukkan slider itu. Geser dari 5 ke 6 dan hitung bentuk L terarsir yang muncul: lima persegi di sisi yang baru, lima di bagian atas yang baru, dan satu di sudut. Sebelas.
Secara umum, dari n^2 ke (n+1)^2 bertambah 2n+1 persegi, yang selalu ganjil. Jadi selisih antarkuadrat yang berurutan adalah 3, 5, 7, 9, 11, 13 …, dan menjumlahkan bilangan ganjil secara berurutan menghasilkan bilangan kuadrat secara berurutan:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Ini juga cara yang benar-benar cepat untuk memperpanjang tabel di kepala. Kalau kamu tahu 14^2 = 196 dan ingin mencari 15^2, tambahkan 2*14 + 1 = 29: 225.
Mengenalinya tanpa kalkulator
Dua saringan sudah membawamu hampir sampai.
Lihat digit terakhirnya. Kuadratkan bilangan apa pun, dan hasilnya berakhir dengan 0, 1, 4, 5, 6, atau 9, tidak pernah dengan 2, 3, 7, atau 8. Jadi 4.398 bukan kuadrat sempurna, dan kamu tidak perlu menghitung apa pun. Ini bukan kebetulan: digit terakhir sebuah hasil kali hanya bergantung pada digit terakhir bilangan yang dikalikan, dan mengkuadratkan 0 sampai 9 hanya menghasilkan enam akhiran itu.
Lalu apit bilangannya. 200 berada di antara 14^2 = 196 dan 15^2 = 225, jadi tidak ada bilangan bulat yang tersisa untuk dikuadratkan menjadi 200. Bilangan apa pun yang berada tepat di antara dua kuadrat berurutan bukanlah kuadrat sempurna.
Kenapa kuadrat sempurna terus muncul
Kuadrat sempurna adalah alasan sebagian persamaan kuadrat bisa difaktorkan dengan rapi dan sebagian lain tidak. x^2 - 49 bisa diuraikan sebagai selisih dua kuadrat karena 49 adalah kuadrat sempurna; x^2 - 50 tidak. Kuadrat sempurna juga yang membuat akar kuadrat bisa disederhanakan: sqrt(75) menjadi 5sqrt(3) justru karena 25 adalah kuadrat sempurna yang tersembunyi di dalam 75.
Coba satu soal
Dan satu soal yang arahnya sebaliknya, persamaan alih-alih mencari di tabel. Perhatikan bahwa soal ini punya dua jawaban, dan di situlah akar kuadrat paling sering disalahpahami:
7 dan -7 sama-sama menghasilkan 49 kalau dikuadratkan, jadi keduanya penyelesaian. Simbol sqrt(49) hanya berarti yang positif. Itu kesepakatan tentang simbolnya, bukan fakta tentang persamaannya.
Pertanyaan umum
Apa itu kuadrat sempurna?
Bilangan bulat yang didapat dengan mengalikan suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri. 9 adalah kuadrat sempurna karena 3 kali 3 sama dengan 9; 10 bukan, karena tidak ada bilangan bulat yang dikali dirinya sendiri menghasilkan 10. Namanya harfiah: tepat sebanyak itu persegi satuan bisa disusun menjadi sebuah persegi.
Apa saja kuadrat sempurna dari 1 sampai 100?
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, dan 100, yaitu kuadrat dari 1 sampai 10. Kalau diteruskan melewati 100, hasilnya 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, dan 400, yang membawamu sampai 20 kuadrat dan mencakup hampir semua yang ditanyakan soal-soal sekolah.
Bagaimana cara mengetahui apakah sebuah bilangan kuadrat sempurna?
Dua saringan cepat, lalu satu pemeriksaan. Kuadrat sempurna tidak pernah berakhir dengan 2, 3, 7, atau 8, jadi bilangan seperti itu langsung tersingkir. Kalau lolos, cari kuadrat terdekat yang kamu ketahui dan bergeraklah ke luar: 200 berada di antara 196 dan 225, jadi bukan kuadrat sempurna. Baru kalau sebuah bilangan lolos keduanya, kamu perlu mencari akar kuadratnya.
Kenapa selisih antarkuadrat sempurna adalah bilangan ganjil?
Memperbesar persegi dari sisi n menjadi n+1 berarti menambahkan satu lajur di satu sisi, satu lajur di bagian atas, dan satu persegi di sudut: n + n + 1, yang selalu ganjil. Jadi selisihnya berurutan 3, 5, 7, 9, dan seterusnya, dan menjumlahkan bilangan ganjil secara berurutan menghasilkan bilangan kuadrat secara berurutan.
Apakah 0 termasuk kuadrat sempurna?
Ya. 0 kali 0 sama dengan 0, jadi 0 memenuhi definisinya dengan tepat. Sebagian daftar di sekolah dimulai dari 1 karena persegi tanpa panjang sisi sulit dibayangkan, tetapi tidak ada apa pun dalam definisinya yang mengecualikan 0, dan menganggap 0 sebagai kuadrat sempurna membuat aljabar selanjutnya tetap rapi.
Ingin mencobanya dengan angkamu sendiri?
Penyelesai Persamaan Buka kalkulator