Selesaikan persamaan kuadrat apa pun dengan setiap langkah ditulis lengkap, secara eksak.
Terakhir diperbarui
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Persamaan kuadrat adalah persamaan apa pun yang bisa ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan nol. Rumus kuadrat, yang di Indonesia dikenal sebagai rumus ABC, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, menyelesaikan setiap persamaan itu tanpa kecuali, dan itu hal yang tidak biasa dan layak dihargai. Pemfaktoran hanya bisa dipakai kalau bilangannya kebetulan bersahabat; melengkapkan kuadrat sempurna selalu bisa tapi butuh latihan; rumus ABC selalu bisa dan hanya butuh ketelitian.
Bagian yang benar-benar bekerja ada di bawah tanda akar. b² - 4ac disebut diskriminan, dan tandanya menentukan bentuk jawaban sebelum kamu menghitung apa pun yang lain: positif berarti dua akar, nol berarti satu akar kembar, negatif berarti tidak ada penyelesaian real sama sekali. Mengecek diskriminan lebih dulu memberi tahu jenis jawaban yang harus diharapkan, dan itulah cara tercepat untuk menangkap salah hitung nanti.
Rumus ini bukan satu gerakan, dan itulah salah paham paling umum tentangnya. Rumus ini adalah prosedur pendek: substitusi, hitung diskriminan, ambil akarnya, pisahkan ±, lalu sederhanakan setiap cabang. Kalkulator ini menjalankan kelima langkah itu supaya kamu bisa melihat langkah mana yang akan kamu kerjakan dengan salah.
Ketik a, b, dan c di kotaknya. Bilangan bulat, desimal, dan pecahan seperti 1/2 semuanya bisa dipakai. Suku yang tidak ada berarti koefisiennya nol: untuk x² - 4 = 0, b bernilai 0.
Ketik sesuatu seperti 2x^2 - 5x + 2 = 0 di kolom persamaan lalu tekan Baca. Suku-suku di kedua ruas otomatis dipindahkan ke kiri, jadi 3x^2 = 2x + 1 juga bisa.
Langkah keempat memberimu b² - 4ac. Perhatikan tandanya dan tebak bentuk jawabannya, dua akar, satu, atau tidak ada, sebelum menggulir ke bawah.
Kalau jawabanmu berbeda, pertanyaan yang berguna bukanlah bilangan mana yang benar, melainkan langkah mana yang menyimpang. Temukan baris itu, dan kesalahannya akan terlihat sendiri.
Rumus ini bukan aksioma. Rumus ini adalah hasil melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum sekali saja, supaya tidak ada yang perlu mengerjakannya lagi dengan bilangannya sendiri. Mengerjakannya sekali saja adalah perbedaan antara menghafal rumusnya dan memahaminya.
a x^2 + b x + c = 0
a tidak boleh nol: tanpa suku x² tidak ada yang kuadrat untuk diselesaikan, dan 2a di bawah juga akan bernilai nol.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Melengkapkan kuadrat sempurna butuh x² tanpa koefisien, jadi a harus dilepas dari depannya. Langkah ini juga yang menaruh a di penyebut, tempatnya sampai akhir penurunan.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
Setengah dari b/a adalah b/2a, dan kuadratnya b²/4a². Inilah gerakan yang menjadi poros seluruh penurunan: tepat itulah yang kurang dari ruas kiri untuk menjadi kuadrat sempurna.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Itulah diskriminannya, b² - 4ac, muncul dengan sendirinya sebelum ada yang memberinya nama.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Kedua tanda, karena keduanya menghasilkan kuadrat yang sama. 2a keluar dari √(4a²) sebagai |2a|, dan ± di depannya menyerap tandanya apa pun itu.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
Tidak ada satu pun dari ketujuh baris itu yang memakai a, b, atau c tertentu, karena itulah hasilnya berlaku untuk setiap persamaan kuadrat. Itu juga alasan diskriminan menentukan bentuk jawabannya: diskriminan adalah bilangan di bawah akar, dan kalau negatif, langkah keenam tidak bisa dilanjutkan.
Nilai b² - 4ac menentukan seluruh bentuk jawaban sebelum kamu mengambil satu akar kuadrat pun.
| Diskriminan | Akar real | Grafiknya | Contoh |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Dua akar real berbeda | Memotong sumbu x dua kali | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Satu akar kembar | Menyinggung sumbu x sekali | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Tidak ada penyelesaian real | Tidak pernah mencapai sumbu x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Kuadrat sempurna | Dua akar rasional | Memotong di dua pecahan atau bilangan bulat | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Positif, bukan kuadrat sempurna | Dua akar irasional | Memotong di dua bentuk akar | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6Diskriminannya (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Akar kuadratnya tepat 1, jadi akar-akarnya (5 + 1)/2 = 3 dan (5 - 1)/2 = 2. Karena diskriminannya kuadrat sempurna, kedua akarnya rasional dan persamaannya juga bisa difaktorkan menjadi (x - 3)(x - 2) = 0. Inilah kasus ketika pemfaktoran sebenarnya lebih cepat.
a = 2, b = -5, c = 2Diskriminannya 25 - 16 = 9, jadi √9 = 3 dan akar-akarnya (5 + 3)/4 = 2 dan (5 - 3)/4 = 1/2. Perhatikan bahwa akar kedua tetap 1/2 dan tidak pernah ditampilkan sebagai 0.5: pecahan adalah nilai tepatnya, dan desimal adalah hampirannya yang kebetulan pendek.
a = 1, b = -4, c = 1Diskriminannya 16 - 4 = 12, yang bukan kuadrat sempurna. √12 disederhanakan menjadi 2√3, jadi akar-akarnya (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Di sinilah sebagian besar kalkulator mulai mencetak 3.7320508 dan berhenti berguna: 2 + √3 adalah jawabannya, dan desimal apa pun hanyalah pembulatannya.
a = 1, b = 2, c = 5Diskriminannya 4 - 20 = -16. Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif, jadi persamaan ini tidak punya penyelesaian real dan penurunannya berhenti di situ. Parabolanya seluruhnya berada di atas sumbu x. Kalau pelajaranmu sudah sampai bilangan kompleks, akar-akarnya -1 ± 2i, tapi apakah itu dihitung sebagai jawaban tergantung sistem bilangan yang diajarkan kepadamu.
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Rumus ini, yang juga disebut rumus kuadrat, memberikan penyelesaian untuk setiap persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0 dengan a tidak sama dengan nol. Rumus ini diturunkan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum, karena itulah rumus ini berlaku untuk semua persamaan, bukan hanya untuk bilangan yang mudah.
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada ax² + bx + c = 0. Bagi semuanya dengan a, pindahkan konstanta ke ruas lain, tambahkan (b/2a)² ke kedua ruas supaya ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, ambil akar kuadrat kedua ruas, di sinilah ± muncul, lalu kurangkan b/2a. Ketujuh barisnya dijabarkan di atas. Tidak ada yang bergantung pada bilangan tertentu, karena itulah hasilnya berlaku untuk setiap persamaan kuadrat.
Karena penurunannya mengambil akar kuadrat kedua ruas, dan bilangan positif punya dua akar kuadrat: 3 dan -3 sama-sama kuadratnya 9. Keduanya harus dibawa, jadi ± adalah singkatan untuk dua perhitungan terpisah, dan itulah alasan persamaan kuadrat biasanya punya dua penyelesaian, bukan satu.
Keduanya gratis, tanpa perlu daftar. Ini layak disebut dengan jelas karena dua situs matematika langkah demi langkah yang paling terkenal menampilkan jawabannya lalu meminta langganan untuk melihat cara mendapatkannya. Inti halaman ini adalah bahwa pengerjaannyalah bagian yang berguna.
Karena 2 + √3 adalah jawabannya dan 3.732 hanyalah pembulatannya. Kalau PR-mu meminta nilai tepat, desimal akan dinilai salah. Hampirannya ditampilkan di bawah untuk saat kamu perlu mengecek kewajaran grafik atau hasil pengukuran.
Artinya persamaan itu tidak punya penyelesaian real: parabolanya tidak pernah memotong sumbu x. Di pelajaran yang sudah memperkenalkan bilangan kompleks, tetap ada dua penyelesaian yang ditulis a ± bi, tapi sebelum itu, "tidak ada penyelesaian real" adalah jawaban yang lengkap dan benar.
Faktorkan dulu kalau kamu bisa menemukan faktornya dalam beberapa detik: cara itu lebih cepat dan lebih kecil kemungkinan salahnya. Pakai rumus ABC kalau bilangannya tidak mau bekerja sama, kalau koefisien x² bukan 1, atau kalau kamu menduga akarnya irasional. Rumus ABC tidak pernah gagal; pemfaktoran hanya bisa dipakai pada persamaan yang memang dibuat untuk bisa difaktorkan.
Bisa. Masukkan pecahan sebagai 1/2 atau 3/4 dan desimal sebagai 0.5. Desimal diubah menjadi pecahan tepat di dalamnya, jadi 0.1 berperilaku sebagai sepersepuluh, bukan sebagai hampiran biner yang dipakai kalkulator floating point.
Pindahkan setiap suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya nol, lalu kumpulkan suku-suku sejenis. Untuk 3x² = 2x + 1, kurangkan 2x dan 1 dari kedua ruas untuk mendapat 3x² - 2x - 1 = 0. Kolom persamaan di halaman ini melakukan penyusunan ulang itu untukmu kalau kamu menempel persamaan aslinya.
