相关系数

把两种测量值放在一起，比如睡眠时长和反应时间，或者气温和冰淇淋销量，再把一个对着另一个画出来。有时数据点从左到右向上走，有时向下走，有时只是一团没有形状的云。相关系数 r 把这种印象变成一个介于 -1 和 1 之间的数。

拖动下面的数据点。两条虚线分别标出 x 的平均值和 y 的平均值，每个点的颜色取决于它相对于这两条线的位置。先试试三个预设，再把一个点拖到远离其他点的地方，看看它对 r 有什么影响。

这个数说明了什么

r 总是介于 -1 和 1 之间，它携带两条独立的信息。

符号表示方向。r 为正，意味着 x 越大，y 也倾向于越大。r 为负，意味着 x 越大，y 倾向于越小。它完全不说明趋势有多陡：一条缓缓上升的直线和一条急剧上升的直线，r 都可以等于 1。

大小表示数据点贴近一条直线的紧密程度。恰好为 1 或 -1 时，每个点都在同一条直线上。为 0 时，完全没有直线趋势。

上面的散点图按大多数教科书使用的分界线给 r 加标签：

这些分界线是约定，而不是定理。它们便于用文字描述结果，而每个领域都会调整它们：一位物理学家如果在两个本应严格成正比的量之间测出 r = 0.9，那就出了问题；而一位心理学家如果在两种特质之间发现 r = 0.4，那就是一项成果。

公式从哪里来

两条均值虚线把平面分成四个区域，每个点都落在其中一个。在中心右上方的点，x 高于它的平均值，y 也高于它的平均值。在左上方，x 低于平均值，y 高于平均值。整个公式就建立在这幅图上：

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

先看分子。对每个点，把 x 离平均值的距离乘以 y 离平均值的距离。在右上和左下两个区域，两个距离同号，所以乘积为正。在另外两个区域，符号相反，乘积为负。把乘积相加得到一个总和，它的符号就是 r 的符号。这就是为什么图中的颜色比数字更早告诉你方向：蓝色的点把 r 往上推，橙色的点把 r 往下拉。

分母只负责缩放。它除以 x 的离散程度和 y 的离散程度，所以结果不再依赖单位，而且在两个方向上都不会超过 1。

手算一遍

取五个点：x = 1, 2, 3, 4, 5，y = 2, 4, 5, 4, 5。x 的平均值是 3，y 的平均值是 4。

所以 r = 6/√60 = √15/5，约等于 0.7746：强正相关。

注意精确答案是一个平方根。这里 r² 恰好等于 3/5，一个普通的分数，而 r 是它的平方根，再带上分子的符号。这就是为什么相关系数计算器会把 r 显示为根式，并在旁边给出小数，而不是只给一个四舍五入的小数。

很多教科书给出的是同一个公式的另一种形式，只需要累计求和，不用先减去平均值：

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

对于同样的五个点，n = 5，Σx = 15，Σy = 20，Σxy = 66，Σx² = 55，Σy² = 86。分子是 5 × 66 减去 15 × 20，等于 30；分母根号下的两个括号分别是 50 和 30，所以 r = 30 / √1500，同样是 √15/5。

r 与 r 的平方

把 r 平方，就得到 r²，也叫决定系数。对于上面的五个点，r² = 0.6。它表示一个比例：穿过这些点的最佳拟合直线解释了 y 变化的 60%，剩下的 40% 是直线无法解释的分散。

这两个数回答的是不同的问题。r 同时告诉你方向和强度，描述一种关系时你想要的正是它。r² 去掉了符号，所以 r = -0.9 和 r = 0.9 都得到 0.81；当问题是一条直线能解释多少时，就该引用它。除非 r 为 0 或 ±1，r² 总是小于 |r|，所以一个听起来还不错的 0.5 的 r，变成 r² 就只有 0.25：直线只解释了四分之一的变化。

相关不等于因果

r 很大只说明两个量在这组数据里一起变化。它不说明原因，而且有三种常见原因，都与一方导致另一方毫无关系。

• 第三个量同时驱动两者。冰淇淋销量和游泳事故同起同落。炎热的天气是两者共同的原因。
• 因果方向反了。风越大的日子，风车转得越快。是风让风车转动，而不是风车制造了风。
• 巧合。比较足够多互不相关的数据序列，总有一些会碰巧对上，尤其是只看短短几年的时候。

要证明 x 导致 y，需要相关性无法提供的东西：对照实验，或者一个排除了其他可能的机制论证。

r 看不到的东西

这个数是一个概括，而概括会掩盖信息。有三点值得了解。

曲线。点 (-2, 4)、(-1, 1)、(0, 0)、(1, 1)、(2, 4) 恰好都在 y = x^2 上，它们的相关系数却恰好为 0。左半边下降，右半边上升，乘积相互抵消。r 只衡量直线关系，所以一条完美的曲线也可能得零分。

离群值。从上面的五个点出发，r ≈ 0.7746，再加一个点 (10, 0)。新的 r 约为 -0.5529。一个点就让符号翻转了。反过来也一样：x = 1 到 5、y = 3, 1, 4, 1, 5 的 r ≈ 0.3536，是弱相关；加上一个点 (12, 12)，不改动其他五个点，r 就升到约 0.9084。在散点图里两种情况都试一试：把一个点拖到角落，看 r 怎么变。

不受影响的东西。改变单位不会影响 r。把 x 从米换成厘米，或者把每个 x 乘以 10，r 仍然是 √15/5。交换哪个变量作 x、哪个作 y，r 也不变；而最佳拟合直线在交换后会改变。

所以，在引用 r 之前先看散点图，再检查拟合直线的残差，看看有没有被这个数掩盖的规律。

做一道题

两个量的相关系数为 r = -0.9。r 的平方是多少？

尽管 r 是负数，答案却是正数，而且比 0.9 小。如果你得到 -0.81，说明你把符号带进了平方；如果你得到 0.9，说明你漏掉了平方。想算出你自己数据的 r，可以把两列数据粘贴到相关系数计算器里，它会显示求和表格和代入数值后的公式。