Die Anziehung zwischen zwei Massen, nach dem newtonschen Gravitationsgesetz.
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Der Physikkurs von Coddy bringt dir die Methode bei: Du löst jede Aufgabe Schritt für Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst, welcher Schritt schiefgegangen ist.
Jede Masse zieht jede andere Masse an. Das newtonsche Gravitationsgesetz gibt die Stärke dieser Anziehung an: F = Gm₁m₂/r², wobei m₁ und m₂ die beiden Massen in Kilogramm sind, r der Abstand ihrer Mittelpunkte in Metern und G die Gravitationskonstante, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Die Kraft ist in Newton und wirkt auf beide Massen gleich stark, jeweils zur anderen hin.
G ist winzig, darum ist die Anziehung zwischen Alltagsgegenständen zu schwach, um sie zu spüren: Zwei Personen mit je 70 kg im Abstand von 1 m ziehen sich mit etwa 3,3 × 10⁻⁷ N an. Erst die Masse eines Planeten erzeugt eine Kraft, die man merkt. Der Abstand steht im Quadrat, das macht das Gesetz zu einem Abstandsquadratgesetz: Doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft, dreifacher Abstand ein Neuntel.
Der Rechner löst das Gesetz nach der Größe auf, die du von F, m₁, m₂ und r leer lässt. Massen kannst du in Kilogramm, Tonnen, Erdmassen (M⊕ = 5,9722 × 10²⁴ kg) oder Sonnenmassen (M☉ = 1,98847 × 10³⁰ kg) angeben, Abstände in Metern, Kilometern oder astronomischen Einheiten (AU, auf Deutsch auch AE; 1 AU = 1,495978707 × 10¹¹ m). Jeder Wert wird zuerst in SI umgerechnet, als eigener Schritt, so kannst du 1 Erdmasse und 6371 km eintippen statt der Zehnerpotenzen.
Eine Erdmasse sind 5,9722 × 10²⁴ kg, eine Sonnenmasse 1,98847 × 10³⁰ kg, eine Tonne 1000 kg. Im Rechner kannst du stattdessen diese Einheiten wählen.
Kilometer mit 1000 multiplizieren; 1 AU sind 1,495978707 × 10¹¹ m. Für einen Körper auf der Oberfläche eines Planeten nimmst du den Planetenradius; darüber addierst du die Höhe zum Radius.
F = G · m₁ · m₂ / r². Multipliziere G mit beiden Massen und teile dann durch r². Für die Erde und eine Person mit 70 kg: 6,6743 × 10⁻¹¹ · 5,9722 × 10²⁴ · 70 / (6,371 × 10⁶)² = 687 N.
Sehr große oder sehr kleine Kräfte kommen als Zehnerpotenzen heraus. Die Anziehung zwischen Sonne und Erde beträgt etwa 3,54 × 10²² N.
Werte aus F = Gm₁m₂/r² mit G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², gerundet. Jeder Abstand gilt von Mittelpunkt zu Mittelpunkt; die Person hat 70 kg.
| Paar | Massen | Abstand r | Kraft |
|---|---|---|---|
| Zwei Massen mit 1 kg | 1 kg und 1 kg | 1 m | 6,67 × 10⁻¹¹ N |
| Zwei Personen | 70 kg und 70 kg | 1 m | 3,27 × 10⁻⁷ N |
| Person und Mond im Zenit | 70 kg und 7,342 × 10²² kg | 378 029 km | 0,0024 N |
| Person und Sonne | 70 kg und 1 M☉ | 1 AU | 0,415 N |
| Person und Erde, am Boden | 70 kg und 1 M⊕ | 6371 km | 687 N |
| Person und Erde, in der Höhe der ISS | 70 kg und 1 M⊕ | 6771 km | 609 N |
| Erde und Mond | 1 M⊕ und 7,342 × 10²² kg | 384 400 km | 1,98 × 10²⁰ N |
| Sonne und Erde | 1 M☉ und 1 M⊕ | 1 AU | 3,54 × 10²² N |
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, r = 6371 kmZuerst umrechnen: 1 M⊕ = 5,9722 × 10²⁴ kg und 6371 km = 6,371 × 10⁶ m. F = 6,6743 × 10⁻¹¹ · 5,9722 × 10²⁴ · 70 / (6,371 × 10⁶)² = 687 N. Das ist die Gewichtskraft der Person: 70 · 9,81 = 686,7 N, bis auf Rundung dasselbe.
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 7,342 × 10²² kg, r = 384 400 kmMit r = 3,844 × 10⁸ m ist F = 6,6743 × 10⁻¹¹ · 5,9722 × 10²⁴ · 7,342 × 10²² / (3,844 × 10⁸)² = 1,98 × 10²⁰ N. Diese Anziehung hält den Mond auf seiner Bahn, und die gleich große Anziehung des Mondes auf die Erde erzeugt die Gezeiten.
m₁ = 1 M☉, m₂ = 1 M⊕, r = 1 AU1 M☉ = 1,98847 × 10³⁰ kg und 1 AU = 1,495978707 × 10¹¹ m. F = 6,6743 × 10⁻¹¹ · 1,98847 × 10³⁰ · 5,9722 × 10²⁴ / (1,496 × 10¹¹)² = 3,54 × 10²² N.
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, F = 171,86 NLass r leer. r = √(Gm₁m₂/F) = √(6,6743 × 10⁻¹¹ · 5,9722 × 10²⁴ · 70 / 171,86) = 1,274 × 10⁷ m, etwa 12 742 km: zwei Erdradien. Ein Viertel der 687 N an der Oberfläche, beim doppelten Abstand vom Mittelpunkt.
m₁ = 70 kg, m₂ = 70 kg, r = 1 mF = 6,6743 × 10⁻¹¹ · 70 · 70 / 1² = 3,27 × 10⁻⁷ N, die Gewichtskraft eines Staubkorns von etwa 0,03 mg. Die Gravitation zwischen gewöhnlichen Gegenständen ist echt, aber viel zu schwach, um sie zu bemerken.
F = Gm₁m₂/r², das newtonsche Gravitationsgesetz. m₁ und m₂ sind die Massen in Kilogramm, r der Abstand ihrer Mittelpunkte in Metern und G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Die Kraft kommt in Newton heraus.
G ist die Konstante, die überall die Stärke der Gravitation festlegt: 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², der CODATA-Wert, den der Rechner nutzt. Es ist die Kraft in Newton zwischen zwei Massen von 1 kg im Abstand von 1 m.
Stelle die Formel um: r = √(Gm₁m₂/F). Multipliziere G mit beiden Massen, teile durch die Kraft und zieh dann die Wurzel. Das Ergebnis ist der Abstand der Mittelpunkte.
Stelle nach der unbekannten Masse um: m₁ = Fr² / (Gm₂). Multipliziere die Kraft mit dem Abstand zum Quadrat und teile dann durch G mal die andere Masse. Lass das Feld dieser Masse leer, und der Rechner erledigt das.
Ein kugelförmiger Planet oder Stern zieht so, als säße seine ganze Masse im Mittelpunkt. Für einen Körper auf oder über der Erde ist r also der Erdradius, 6371 km, plus die Höhe über dem Boden.
Die Kraft nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab, weil r in der Formel im Quadrat steht. Doppelter Abstand ergibt ein Viertel der Kraft; dreifacher Abstand ein Neuntel.
Ja, deine Gewichtskraft ist die Gravitationskraft der Erde auf dich. Nahe der Oberfläche ist W = mg einfacher, und es liefert dasselbe Ergebnis: 70 kg mal 9,81 m/s² sind 687 N, genau wie G mal Erdmasse mal 70 kg durch den Radius zum Quadrat.
Weil G so klein ist. Zwei Personen mit je 70 kg im Abstand von 1 m ziehen sich mit etwa 3,3 × 10⁻⁷ N an. Es braucht eine Masse von der Größe eines Planeten, um eine spürbare Kraft zu erzeugen.
