Kohlenstoff-14 nach drei Halbwertszeiten
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N₀ = 100, t = 17 190 Jahre, t½ = 5730 Jahret/t½ = 17 190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. Beginnst du mit 100 g, sind 12,5 g übrig; beginnst du mit 100 %, sind 12,5 % übrig.
Halbwertszeit berechnen
Die nach dem radioaktiven Zerfall verbleibende Menge, die vergangene Zeit oder die Halbwertszeit.
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Die Formel für die Halbwertszeit, und was sie aussagt
Eine radioaktive Probe zerfällt in einem Tempo, das ihre Halbwertszeit t½ festlegt: die Zeit, in der die Hälfte der Atome zerfällt. Egal, mit welcher Menge du beginnst, nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte übrig, nach zwei ein Viertel, nach drei ein Achtel. Die Formel lautet N = N₀(½)^(t/t½), wobei N₀ die Anfangsmenge ist, N die verbleibende Menge und t die vergangene Zeit.
Der Exponent t/t½ zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind, und er muss keine ganze Zahl sein. Um rückwärts zur Zeit zu kommen, nimmst du einen Logarithmus zur Basis 2: t = t½ · log₂(N₀/N). Sind aus 80 g 10 g geworden, ist N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, also sind drei Halbwertszeiten vergangen. Die Halbwertszeit hängt nicht davon ab, wie viel du hast: Ein Gramm und eine Tonne Iod-131 halbieren sich beide in 8,02 Tagen.
Der Rechner löst die Formel nach der Größe auf, die du von den vier leer lässt: Restmenge, Anfangsmenge, Zeit oder Halbwertszeit. Die beiden Mengen können in jeder Einheit stehen, Gramm, Atome, Prozent oder Becquerel Aktivität, solange beide dieselbe nutzen. Die Zeiten können in Sekunden, Minuten, Stunden, Tagen oder Jahren angegeben sein (ein Jahr sind hier 365,25 Tage), und Zeit und Halbwertszeit dürfen verschiedene Einheiten haben: Beide werden zuerst in Sekunden umgerechnet, und das Ergebnis wird in der gewählten Einheit und in den anderen angegeben.
Worauf es ankommt
- Nach 1, 2, 3, 4 und 5 Halbwertszeiten ist der verbleibende Anteil 50 %, 25 %, 12,5 %, 6,25 % und 3,125 %. Jede Halbwertszeit halbiert, was noch übrig ist, nicht die Anfangsmenge.
- In der Formel erreicht der Zerfall nie ganz null. Nach 10 Halbwertszeiten sind etwa 0,1 % übrig; nach 20 etwa ein Millionstel.
- Die Mengen kommen nur als Verhältnis vor, N₀/N, darum kürzt sich ihre Einheit weg. Masse, Anzahl der Atome, Prozent und Aktivität in Becquerel funktionieren alle, wenn beide Mengen dieselbe Einheit nutzen.
- Zeit und Halbwertszeit müssen in derselben Einheit stehen, bevor man sie teilt. 24 Stunden und eine Halbwertszeit von 6,01 Stunden ergeben 24 / 6,01 = 3,99 Halbwertszeiten.
- Die Zerfallskonstante ist λ = ln 2 / t½, der Anteil, der pro Zeiteinheit zerfällt. N = N₀e^(−λt) ist dasselbe Gesetz, geschrieben mit e statt ½.
So löst du Aufgaben zur Halbwertszeit
Schreib auf, was du weißt
Drei der vier: die Anfangsmenge N₀, die Restmenge N, die Zeit t und die Halbwertszeit t½.
Bring Zeit und Halbwertszeit in dieselbe Einheit
Stunden mit Stunden, Jahre mit Jahren. 2 Tage sind 48 Stunden; ein Jahr sind 365,25 Tage.
Für die Restmenge: ½ hoch t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g Kohlenstoff-14 nach 17 190 Jahren: 17 190 / 5730 = 3, und 100 · (½)³ = 12,5 g.
Für die Zeit: Logarithmus zur Basis 2
t = t½ · log₂(N₀/N). Von 100 % auf 25 % sind log₂ 4 = 2 Halbwertszeiten; für Kohlenstoff-14 sind das 2 · 5730 = 11 460 Jahre. Auf einem Taschenrechner ohne log₂ nimmst du log₂ x = ln x / ln 2.
Halbwertszeiten bekannter Isotope
Gerundete Standardwerte. Sie reichen von Minuten bis zu Milliarden Jahren, darum nimmt der Rechner Zeiten von Sekunden bis Jahren an.
| Isotop | Halbwertszeit | Wo du ihm begegnest |
|---|---|---|
| Fluor-18 | 110 Minuten | PET-Untersuchungen |
| Technetium-99m | 6,01 Stunden | Der meistgenutzte Tracer in der medizinischen Bildgebung |
| Radon-222 | 3,82 Tage | Ein Gas, das aus Gestein in Keller sickert |
| Iod-131 | 8,02 Tage | Behandlung der Schilddrüse |
| Polonium-210 | 138 Tage | Alphastrahler |
| Cobalt-60 | 5,27 Jahre | Strahlentherapie, Sterilisieren medizinischer Geräte |
| Wasserstoff-3 (Tritium) | 12,3 Jahre | Leuchtende Notausgangsschilder und Zifferblätter |
| Caesium-137 | 30,1 Jahre | Fallout aus Tschernobyl und Fukushima |
| Radium-226 | 1600 Jahre | Alte Leuchtfarbe |
| Kohlenstoff-14 | 5730 Jahre | Radiokarbonmethode |
| Plutonium-239 | 24 100 Jahre | Kernreaktoren |
| Uran-235 | 704 Millionen Jahre | Kernbrennstoff |
| Kalium-40 | 1,25 Milliarden Jahre | Bananen, der menschliche Körper, Altersbestimmung von Gestein |
| Uran-238 | 4,47 Milliarden Jahre | Altersbestimmung der ältesten Gesteine der Erde |
Durchgerechnete Beispiele
Die Halbwertszeit aus zwei Messungen
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N₀ = 80, N = 10, t = 24 TageNach der Halbwertszeit umstellen: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 Tage. Das liegt nahe an den 8,02 Tagen von Iod-131. Stell das Feld der Halbwertszeit auf Tage, und das Ergebnis lautet 8; es wird auch in Sekunden, Stunden und Jahren angegeben.
Wie lange, bis ein Viertel übrig ist
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N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 Taget = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 Tage. Ein Viertel heißt zweimal halbieren, die Zeit beträgt also zwei Halbwertszeiten.
Ein medizinischer Tracer nach einem Tag
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6,01 hTechnetium-99m: t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 Halbwertszeiten, keine ganze Zahl, und das ist in Ordnung. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, nach einem Tag sind also 6,28 % der Dosis übrig.
Radiokarbondatierung
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 JahreEin Knochen mit 25 % des Kohlenstoff-14 von lebendem Gewebe: t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11 460 Jahre alt.
Häufige Fehler
- Glauben, nach zwei Halbwertszeiten sei alles weg. In der ersten zerfällt die Hälfte, dann die Hälfte vom Rest: Nach zwei bleiben 25 %, nach drei 12,5 %.
- Subtrahieren statt halbieren. Nach jeder Halbwertszeit wird die Menge mit ½ multipliziert; sie sinkt nicht jedes Mal um denselben Betrag.
- Die Zeit durch die Halbwertszeit teilen, obwohl beide in verschiedenen Einheiten stehen. 24 Stunden durch eine Halbwertszeit von 8,02 Tagen muss zuerst zu 1 Tag durch 8,02 Tage werden.
- Für die beiden Mengen verschiedene Einheiten nehmen. N in Gramm und N₀ in Prozent ergibt ein sinnloses Verhältnis; beide müssen Gramm sein, beide Atome oder beide Prozent.
- Von N₀/N den ln oder log₁₀ nehmen und vergessen, durch ln 2 oder log₁₀ 2 zu teilen. Die Zeit ist t½ · log₂(N₀/N), und log₂ x = ln x / ln 2.
- N und N₀ vertauschen. Die Anfangsmenge ist die größere; N₀/N ist bei allem, was zerfallen ist, größer als 1.
Häufige Fragen zur Halbwertszeit
Wie lautet die Formel für die Halbwertszeit?
N = N₀(½)^(t/t½), wobei N₀ die Anfangsmenge ist, N die Menge, die nach einer Zeit t übrig ist, und t½ die Halbwertszeit. Der Exponent t/t½ ist die Anzahl der vergangenen Halbwertszeiten.
Wie berechnet man die Halbwertszeit?
Miss die Menge zu Beginn und nach einer bekannten Zeit und nimm dann t½ = t / log₂(N₀/N). Fallen 80 Einheiten in 24 Tagen auf 10, ist log₂ 8 = 3, die Halbwertszeit also 24 / 3 = 8 Tage.
Wie berechnet man die Zeit aus der Halbwertszeit?
Mit t = t½ · log₂(N₀/N). Der Logarithmus zählt die Halbierungen: Von 100 % auf 12,5 % sind log₂ 8 = 3 Halbwertszeiten, bei einer Halbwertszeit von 5730 Jahren beträgt die Zeit also 17 190 Jahre.
Wie viel ist nach 3 Halbwertszeiten übrig?
Ein Achtel, 12,5 %. Jede Halbwertszeit halbiert, was übrig ist: 50 % nach einer, 25 % nach zwei, 12,5 % nach drei, 6,25 % nach vier und 3,125 % nach fünf.
Kann ich für die Mengen Gramm, Atome oder Prozent nehmen?
Ja. Die Formel nutzt nur das Verhältnis der beiden Mengen, also funktioniert jede Einheit, solange Restmenge und Anfangsmenge dieselbe nutzen. Auch Aktivität in Becquerel geht, denn sie sinkt mit derselben Halbwertszeit.
Was ist die Zerfallskonstante?
Die Zerfallskonstante λ ist der Anteil der Atome, der pro Zeiteinheit zerfällt, und λ = ln 2 / t½. Für Kohlenstoff-14 ist sie 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr. Das Gesetz lässt sich dann als N = N₀e^(−λt) schreiben.
Wie nutzt die Radiokarbonmethode die Halbwertszeit?
Lebewesen nehmen Kohlenstoff-14 auf und behalten denselben Anteil wie die Luft. Wenn sie sterben, zerfällt er mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Miss den verbleibenden Anteil, und t = 5730 · log₂(N₀/N) liefert das Alter: 25 % übrig bedeutet 11 460 Jahre.
