Eine Kiste 10 m hochgehoben
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m = 2 kg, h = 10 m, g = 9,81 m/s²PE = m · g · h = 2 · 9,81 · 10 = 196,2 J. Alles ist schon in SI, es gibt also nichts umzurechnen. Der Rechner gibt das Ergebnis auch als 0,1962 kJ an.
Potentielle Energie berechnen
Lageenergie, mgh, und die Energie, die in einer Feder gespeichert ist.
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Die Formel der potentiellen Energie, und was sie aussagt
Potentielle Energie ist Energie, die in der Lage eines Körpers gespeichert ist. Hebst du einen Körper hoch, speicherst du Energie, die er beim Fallen wieder abgibt: PE = mgh (im deutschen Unterricht meist E_pot = m · g · h), wobei m die Masse ist, g die Fallbeschleunigung (9,81 m/s² nahe der Erdoberfläche) und h die Höhe. Eine Kiste mit 2 kg, die 10 m hochgehoben wird, speichert 2 · 9,81 · 10 = 196,2 J.
Die Höhe h wird von einem Nullniveau aus gemessen, das du selbst wählst: dem Fußboden, dem Erdboden, dem Fuß eines Hügels. Es kommt nur auf Höhenunterschiede an, also wähle das Niveau, das die Aufgabe einfach macht. Unterhalb dieses Niveaus ist h negativ und PE ebenso. Auch eine gedehnte oder gestauchte Feder speichert Energie, nach einer anderen Formel: PE = ½kx², wobei k die Federkonstante und x die Dehnung ist.
Der Rechner hat für beides einen eigenen Reiter. Im Reiter für die Lageenergie trägst du drei beliebige von PE, m, g und h ein, und er findet die vierte; g steht zu Beginn auf 9,81 m/s², und du kannst es für den Mond oder für eine Aufgabe mit 9,8 ändern. Im Reiter für die Feder gibst du zwei von PE, k und x an. Höhen in cm, ft oder km und Energien in kJ oder kcal werden zuerst in SI umgerechnet, als eigener Schritt.
Worauf es ankommt
- PE = mgh ergibt nur dann Joule, wenn die Masse in Kilogramm, g in m/s² und die Höhe in Metern angegeben ist. 1 J ist 1 kg·m²/s².
- Die Lageenergie wächst proportional zu jedem Wert: Verdopple die Höhe oder die Masse, und die Energie verdoppelt sich.
- Die Höhe gilt über einem Niveau, das du wählst. Wechselst du das Niveau, ändert sich jede PE um denselben Betrag, die zwischen zwei Punkten gewonnene oder abgegebene Energie bleibt also gleich.
- Die Spannenergie einer Feder, ½kx², wächst mit dem Quadrat der Dehnung: Ziehst du eine Feder doppelt so weit, speichert sie viermal so viel Energie.
- Zurück zur Dehnung braucht man eine Wurzel, x = √(2PE/k). Sie liefert den Betrag der Dehnung, und eine Stauchung um denselben Betrag speichert dieselbe Energie.
- Während ein Körper fällt, wird seine potentielle Energie zu kinetischer Energie. Ohne Luftwiderstand ist mgh oben gleich ½mv² unten.
So berechnest du die potentielle Energie
Gib die Masse in Kilogramm an
Gramm durch 1000 teilen, Pfund mit 0,4536 multiplizieren. Ein Buch mit 500 g hat 0,5 kg.
Miss die Höhe von deinem Nullniveau aus, in Metern
Zentimeter durch 100 teilen, Fuß mit 0,3048 multiplizieren. Ein Regalbrett 150 cm über dem Boden liegt bei h = 1,5 m.
Multipliziere m, g und h
PE = m · g · h mit g = 9,81 m/s² auf der Erde. Das Buch auf dem Regal speichert 0,5 · 9,81 · 1,5 = 7,36 J.
Bei einer Feder: Dehnung quadrieren, dann halbieren
PE = ½ · k · x², mit x in Metern. Eine Feder mit 200 N/m, um 5 cm gedehnt, speichert ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J.
Potentielle Energie von Alltagsdingen
Werte aus PE = mgh mit g = 9,81 m/s² und aus PE = ½kx² für die Federn. Jede Höhe wird vom Fußboden oder Erdboden darunter gemessen.
| Situation | Werte | Potentielle Energie |
|---|---|---|
| Apfel an einem hohen Ast | 0,1 kg, 2 m hoch | 1,96 J |
| Buch auf einem Regal in 1 m Höhe | 1 kg, 1 m hoch | 9,81 J |
| Person ein Stockwerk höher | 70 kg, 3 m hoch | 2060 J |
| Wanderer auf einem Hügel | 80 kg, 500 m hoch | 392 kJ |
| 1 m³ Wasser hinter einer Staumauer | 1000 kg, 100 m hoch | 981 kJ |
| Feder aus dem Labor | k = 200 N/m, x = 5 cm | 0,25 J |
| Harte Feder | k = 5000 N/m, x = 30 cm | 225 J |
Durchgerechnete Beispiele
Die Höhe aus einer Energie
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PE = 1000 J, m = 50 kg, g = 9,81 m/s²Nach h umstellen: h = PE / (m · g) = 1000 / (50 · 9,81) = 1000 / 490,5 = 2,04 m. Lass das Feld für die Höhe leer, und der Rechner geht genau so vor.
Eine Feder um 5 cm gedehnt
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k = 200 N/m, x = 5 cmZuerst die Dehnung umrechnen: 5 cm = 0,05 m. Dann PE = ½ · 200 · 0,05² = ½ · 200 · 0,0025 = 0,25 J. Mit 5 statt 0,05 kämen 2500 J heraus, zehntausendmal zu viel.
Dieselbe Kiste auf dem Mond
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m = 2 kg, h = 10 m, g = 1,62 m/s²Setze das Feld g auf 1,62. PE = 2 · 1,62 · 10 = 32,4 J, etwa ein Sechstel der 196,2 J auf der Erde, weil die Schwerkraft auf dem Mond etwa ein Sechstel so stark ist.
Wie weit eine Feder gedehnt wurde
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PE = 4 J, k = 500 N/mNach x umstellen: x = √(2PE/k) = √(2 · 4 / 500) = √0,016 = 0,126 m, etwa 12,6 cm. Eine Stauchung um dieselben 12,6 cm würde dieselben 4 J speichern.
Häufige Fehler
- Zentimeter oder Fuß für die Höhe nehmen. Rechne zuerst in Meter um: 150 cm sind 1,5 m, und mit 150 wird das Ergebnis hundertmal zu groß.
- Gramm statt Kilogramm nehmen. 500 g sind 0,5 kg; mit 500 wird das Ergebnis tausendmal zu groß.
- Die Höhe vom falschen Punkt aus messen. h ist die Höhe über deinem gewählten Nullniveau; bei einem Fall nimmst du die Fallhöhe, nicht die Höhe des Gebäudes über dem Meeresspiegel.
- g vergessen. PE = mh ist keine Energie; multipliziere mit 9,81 m/s² oder mit dem g, das die Aufgabe vorgibt.
- In der Federformel das ½ oder das Quadrat weglassen. Die Spannenergie ist ½kx², nicht kx und nicht kx².
- Die Gesamtlänge der Feder als x nehmen. x ist die Längenänderung gegenüber der natürlichen, ungedehnten Länge.
Häufige Fragen zur potentiellen Energie
Wie lautet die Formel für die potentielle Energie?
Die Lageenergie ist PE = mgh: Masse in Kilogramm, g = 9,81 m/s² auf der Erde, Höhe in Metern, Energie in Joule. Die in einer Feder gespeicherte Energie ist PE = ½kx², mit der Federkonstante k in N/m und der Dehnung x in Metern.
Wie berechnet man die Höhe aus der potentiellen Energie?
Stelle die Formel um: h = PE / (mg). Teile die Energie durch Masse mal g. 1000 J bei einem Körper mit 50 kg ergeben 1000 / (50 · 9,81) = 2,04 m.
Wie berechnet man die Masse aus der potentiellen Energie?
Stelle nach m um: m = PE / (gh). Ein Körper, der in 3 m Höhe 588,6 J speichert, hat eine Masse von 588,6 / (9,81 · 3) = 20 kg.
Was ist das Nullniveau für die Höhe?
Ein beliebiges Niveau, das du wählst, meist der Fußboden, der Erdboden oder der tiefste Punkt der Aufgabe. Nur die Höhenänderung entscheidet, wie viel Energie gewonnen oder abgegeben wird, darum ändert die Wahl dieses Ergebnis nie.
Kann die potentielle Energie negativ sein?
Die Lageenergie schon: Ein Körper unter deinem Nullniveau hat ein negatives h, also ist mgh negativ. Der Rechner akzeptiert eine negative Höhe. Die Spannenergie einer Feder, ½kx², ist nie negativ.
Soll ich g = 9,81 oder 9,8 nehmen?
Nimm das, was dein Unterricht oder dein Schulbuch nutzt. Der Rechner startet mit g = 9,81 m/s², und du kannst stattdessen 9,8, 10 oder 1,62 für den Mond in das Feld g tippen.
Was ist Spannenergie?
Die Energie, die in etwas Gedehntem oder Gestauchtem gespeichert ist, etwa in einer Feder oder einem Gummiband. Für eine Feder, die dem hookeschen Gesetz folgt, ist sie ½kx², wobei k angibt, wie hart die Feder ist, und x, wie weit sie gedehnt oder gestaucht ist.
Was ist der Unterschied zwischen potentieller und kinetischer Energie?
Potentielle Energie ist gespeicherte Energie der Lage, mgh. Kinetische Energie ist Bewegungsenergie, ½mv². Ein fallender Ball wandelt die eine in die andere um: Oben ist alles potentielle Energie, kurz vor dem Aufprall fast alles kinetische.
