Der Kammerton A mit 440 Hz
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Jede Welle: v = 343 m/s, f = 440 Hzλ = v/f = 343 / 440 = 0,780 m, etwa 78 cm. Der tiefste Ton, den Menschen hören, 20 Hz, ist 343 / 20 = 17,15 m lang; der höchste, 20 kHz, nur 1,7 cm.
Wellenlänge berechnen
Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit, dazu die Energie eines Lichtphotons.
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Die Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit, und was sie aussagt
Jede Welle, ob Schall, Wasser oder Licht, folgt derselben Formel: v = fλ. Die Frequenz f gibt an, wie viele Wellen pro Sekunde an einem Punkt vorbeilaufen, in Hertz; die Wellenlänge λ ist der Abstand von einem Wellenberg zum nächsten, in Metern; und v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, in Metern pro Sekunde. Schall bewegt sich bei 20 °C mit etwa 343 m/s durch Luft, ein Ton von 440 Hz hat also eine Wellenlänge von 343 / 440 = 0,78 m.
Bei fester Wellengeschwindigkeit hängen Frequenz und Wellenlänge gegenläufig zusammen: Doppelte Frequenz heißt halbe Wellenlänge. Licht bewegt sich im Vakuum immer mit c = 299 792 458 m/s, darum macht c = fλ aus jeder Wellenlänge eine Frequenz. Licht kommt außerdem in Photonen, und jedes trägt eine Energie E = hf, wobei h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s das plancksche Wirkungsquantum ist. Eine höhere Frequenz, also eine kürzere Wellenlänge, bedeutet mehr Energie pro Photon.
Der Rechner hat zwei Reiter. Jede Welle löst v = fλ: Gib zwei von Geschwindigkeit, Frequenz und Wellenlänge an, und er findet die dritte. Licht braucht nur einen Wert: Gib eine Wellenlänge, eine Frequenz oder eine Photonenenergie an, und er findet die anderen zwei aus c = fλ und E = hf. Nanometer, Mikrometer, Kilohertz bis Terahertz und Elektronenvolt werden zuerst in SI umgerechnet, als eigener Schritt, und jedes Ergebnis wird auch in den anderen Einheiten angegeben.
Worauf es ankommt
- v = fλ ergibt nur dann Meter pro Sekunde, wenn f in Hertz und λ in Metern angegeben ist. 500 nm sind 500 × 10⁻⁹ m, und 2,4 GHz sind 2,4 × 10⁹ Hz.
- Wenn eine Welle in einen neuen Stoff übergeht, bleibt ihre Frequenz gleich; Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern sich. Schall, der von Luft in Wasser übergeht, wird schneller, und seine Wellenlänge wird etwa viermal so groß.
- Für Licht im Vakuum ist die Geschwindigkeit immer c, ein Wert genügt also: Die Wellenlänge legt die Frequenz fest, und die Frequenz legt die Photonenenergie fest.
- Die Photonenenergie steigt mit der Frequenz und sinkt mit der Wellenlänge. Violettes Licht trägt mehr Energie pro Photon als rotes, und ein Röntgenphoton viel mehr als beide.
- Eine praktische Abkürzung für Licht: Die Photonenenergie in Elektronenvolt ist etwa 1240 geteilt durch die Wellenlänge in Nanometern. 620 nm ergeben 2,0 eV.
So berechnest du Wellenlänge und Frequenz
Bestimme die Ausbreitungsgeschwindigkeit
343 m/s für Schall in Luft bei 20 °C, etwa 1500 m/s in Wasser, 299 792 458 m/s für Licht im Vakuum. Meist gibt die Aufgabe sie vor.
Gib die Frequenz in Hertz und die Wellenlänge in Metern an
kHz mit 1000 multiplizieren, MHz mit 10⁶, GHz mit 10⁹. nm mit 10⁻⁹ multiplizieren, μm mit 10⁻⁶. 100 MHz sind 100 000 000 Hz.
Teile für die gesuchte Größe
λ = v/f für die Wellenlänge, f = v/λ für die Frequenz, v = fλ für die Geschwindigkeit. 343 / 440 = 0,78 m.
Bei Licht: Frequenz mal h ergibt die Energie
E = hf, in Joule. Teile durch 1,602176634 × 10⁻¹⁹ für Elektronenvolt: 5,996 × 10¹⁴ Hz ergeben 3,973 × 10⁻¹⁹ J, also 2,48 eV.
Das elektromagnetische Spektrum
Jeder Bereich breitet sich im Vakuum mit c aus, Wellenlänge und Frequenz hängen also über c = fλ zusammen. Die Grenzen zwischen den Bereichen sind Konventionen, keine scharfen Linien; hier stehen die üblichen.
| Bereich | Wellenlänge | Frequenz | Wo du ihm begegnest |
|---|---|---|---|
| Radiowellen | länger als 1 m | unter 300 MHz | UKW-Radio bei 100 MHz, 3 m |
| Mikrowellen | 1 mm bis 1 m | 300 MHz bis 300 GHz | WLAN bei 2,4 GHz, 12,5 cm |
| Infrarot | 750 nm bis 1 mm | 300 GHz bis 400 THz | Wärme von warmen Körpern, Fernbedienungen |
| Sichtbares Licht | 380 bis 750 nm | 400 bis 790 THz | Rot am langen Ende, Violett am kurzen Ende |
| Ultraviolett | 10 bis 380 nm | 790 THz bis 30 PHz | Sonnenbrand, Schwarzlicht |
| Röntgenstrahlen | 0,01 bis 10 nm | 30 PHz bis 30 EHz | Medizinische Aufnahmen und Gepäckkontrolle am Flughafen |
| Gammastrahlen | kürzer als 0,01 nm | über 30 EHz | Radioaktiver Zerfall |
Durchgerechnete Beispiele
Eine Welle von 3 m in Wasser
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Jede Welle: v = 1500 m/s, λ = 3 mf = v/λ = 1500 / 3 = 500 Hz. In Luft hätte derselbe Ton von 500 Hz eine Wellenlänge von 343 / 500 = 0,686 m: Die Frequenz bleibt, die Wellenlänge ändert sich mit der Geschwindigkeit.
Grünes Licht mit 500 nm
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Licht: λ = 500 nm500 nm sind 5 × 10⁻⁷ m. f = c/λ = 299 792 458 / (5 × 10⁻⁷) = 5,996 × 10¹⁴ Hz, etwa 600 THz. Dann E = hf = 6,62607015 × 10⁻³⁴ · 5,996 × 10¹⁴ = 3,973 × 10⁻¹⁹ J, also 2,48 eV.
Ein UKW-Sender bei 100 MHz
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Licht: f = 100 MHzRadiowellen sind auch Licht, also gilt c = fλ. 100 MHz sind 10⁸ Hz, und λ = c/f = 299 792 458 / 10⁸ = 2,998 m. Jedes Photon trägt nur E = hf = 6,626 × 10⁻²⁶ J, etwa sechs Millionen Mal weniger als ein Photon grünen Lichts.
Ein Photon mit 2 eV
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Licht: E = 2 eVZuerst umrechnen: 2 eV = 2 · 1,602176634 × 10⁻¹⁹ = 3,204 × 10⁻¹⁹ J. Dann f = E/h = 4,836 × 10¹⁴ Hz, und λ = c/f = 6,199 × 10⁻⁷ m, also 619,9 nm: die Grenze zwischen Orange und Rot.
Häufige Fehler
- Nanometer stehen lassen. 500 nm sind 5 × 10⁻⁷ m; setzt du 500 in c = fλ ein, wird die Frequenz eine Milliarde Mal zu klein.
- MHz und Hz verwechseln. 100 MHz sind 100 000 000 Hz, nicht 100 Hz.
- Die Lichtgeschwindigkeit für Schall nehmen oder 343 m/s für Licht. Jede Art von Welle hat ihre eigene Geschwindigkeit, und sie hängt davon ab, wodurch sich die Welle bewegt.
- Glauben, die Frequenz ändere sich, wenn eine Welle in Wasser oder Glas eintritt. Die Frequenz legt die Quelle fest; Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern sich.
- Frequenz und Periodendauer verwechseln. Die Periodendauer T ist die Zeit für eine Welle, T = 1/f; eine Welle mit 50 Hz hat eine Periodendauer von 0,02 s.
- In E = hf Joule und Elektronenvolt mischen. Mit h in J·s kommt die Energie in Joule heraus; teile durch 1,602176634 × 10⁻¹⁹ für eV.
Häufige Fragen zu Wellenlänge und Frequenz
Wie lautet die Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle?
v = fλ: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist Frequenz mal Wellenlänge. Mit f in Hertz und λ in Metern kommt v in Metern pro Sekunde heraus. Eine Welle mit 2 Hz und 0,5 m bewegt sich mit 1 m/s.
Wie berechnet man die Wellenlänge aus der Frequenz?
Teile die Ausbreitungsgeschwindigkeit durch die Frequenz: λ = v/f. Für Licht nimm c = 299 792 458 m/s, also λ = c/f. WLAN bei 2,4 GHz hat eine Wellenlänge von 299 792 458 / (2,4 × 10⁹) = 0,125 m, etwa 12,5 cm.
Wie berechnet man die Frequenz aus der Wellenlänge?
Teile die Geschwindigkeit durch die Wellenlänge: f = v/λ, oder f = c/λ für Licht. Rotes Licht mit 650 nm hat eine Frequenz von 299 792 458 / (650 × 10⁻⁹) = 4,61 × 10¹⁴ Hz, etwa 461 THz.
Wie berechnet man die Energie eines Photons?
E = hf, wobei h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s das plancksche Wirkungsquantum ist. Aus einer Wellenlänge kombinierst du es mit c = fλ: E = hc/λ. Ein Photon mit 500 nm trägt 3,97 × 10⁻¹⁹ J, oder 2,48 eV.
Welche Wellenlänge hat jede Farbe des Lichts?
Ungefähr: Violett 380 bis 450 nm, Blau 450 bis 495 nm, Grün 495 bis 570 nm, Gelb 570 bis 590 nm, Orange 590 bis 620 nm, Rot 620 bis 750 nm. Die Farben gehen ineinander über, die Grenzen sind also ungefähr.
Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit?
Etwa 343 m/s in trockener Luft bei 20 °C und 331 m/s bei 0 °C; sie steigt mit der Temperatur. In Wasser sind es etwa 1500 m/s, mehr als viermal so schnell, und in Festkörpern noch mehr.
Warum ist c genau 299 792 458 m/s?
Seit 1983 ist der Meter über die Lichtgeschwindigkeit definiert: Er ist die Strecke, die Licht im Vakuum in 1/299 792 458 Sekunde zurücklegt. Also ist c per Definition exakt, und seit 2019 auch das plancksche Wirkungsquantum.
