Kurva y = a·bˣ yang cocok dengan data pertumbuhan atau peluruhan, dengan laju per langkah.
Terakhir diperbarui
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Garis lurus menambahkan jumlah yang sama untuk setiap langkah x. Banyak hal justru dikalikan dengan faktor yang sama: uang dengan bunga majemuk, koloni bakteri, sisa daya baterai, selisih suhu antara minuman yang mendingin dan ruangan. Pola itu adalah y = a·bˣ, dengan a nilai pada x = 0 dan b faktor yang diterapkan di setiap langkah. Kalau b di atas 1, besarannya tumbuh; kalau b di antara 0 dan 1, besarannya meluruh; dan (b dikurangi 1) dalam persen adalah laju per langkahnya.
Cara standar untuk mencocokkannya adalah mengambil logaritma natural dari setiap y. Jika y = a·bˣ, maka ln y = ln a + x·ln b, yang merupakan garis lurus dalam x. Jadi metode ini mencocokkan garis kuadrat terkecil biasa pada titik-titik (x, ln y), membaca ln b dari gradiennya dan ln a dari titik potongnya, lalu membatalkan logaritmanya. Inilah yang dilakukan perintah ExpReg di TI-84 dan trendline eksponensial di Excel, dan halaman ini menunjukkan setiap tahapnya: kolom ln y, garis yang dicocokkan, dan dua eksponensial yang mengembalikan a dan b.
Karena logaritma bersifat irasional, inilah satu-satunya kalkulator regresi dalam kumpulan ini yang jawabannya desimal yang dibulatkan, bukan pecahan eksak, dan hal itu disebutkan di samping hasilnya. Kalkulator ini juga butuh setiap y di atas 0, karena logaritma dari 0 atau bilangan negatif tidak ada. r² yang ditampilkan adalah r² dari kecocokan garis lurus pada ln y, angka yang dilaporkan kalkulator grafik.
Ganti setiap y dengan ln y. Untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 dan y = 3, 6, 12, 24, 48, kolom barunya kira-kira 1,0986; 1,7918; 2,4849; 3,1781; dan 3,8712.
Pakai rumus kuadrat terkecil biasa untuk gradien dan titik potong pada titik-titik (x, ln y). Di sini gradiennya sekitar 0,6931 dan titik potongnya sekitar 1,0986.
Gradiennya adalah ln b dan titik potongnya adalah ln a, jadi b = e pangkat gradien dan a = e pangkat titik potong. Di sini b ≈ e^0,6931 = 2 dan a ≈ e^1,0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, atau y ≈ 3e^(0,6931x) dalam basis e. b = 2 berarti setiap langkah mengalikan y dengan 2: pertumbuhan 100% per langkah, dan waktu penggandaannya tepat satu langkah.
Setiap baris adalah satu kumpulan data yang diketik ke kalkulator di atas. Semua nilai dibulatkan sampai empat angka desimal.
| Nilai x | Nilai y | Kurva terbaik | Perubahan per langkah | r² dari ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ | -18,05% | 1,0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ | +103,13% | 0,9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1,05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ | -32,38% | 0,9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48Setiap y adalah dua kali y sebelumnya, jadi titik-titiknya tepat berada di y = 3·2ˣ dan kalkulator menghasilkan a ≈ 3 dan b ≈ 2, pertumbuhan 100% per langkah, dengan r² = 1. Dalam basis e, kurva yang sama adalah y ≈ 3e^(0,6931x), dan 0,6931 adalah ln 2. Diteruskan sampai x = 6, kurva ini memprediksi 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37Anggap y sebagai selisih suhu dengan ruangan, diukur setiap lima menit. Hasil pencocokannya y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ, atau y ≈ 99,9517e^(-0,1991x): sekitar 18,05% selisihnya hilang di setiap langkah, dan waktu paruhnya ln 2 / 0,1991, sekitar 3,48 langkah. Kecocokan logaritmanya hampir sempurna: r² bernilai 0,99999 sampai lima angka desimal, yang dibulatkan kalkulator menjadi 1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36Nilainya kira-kira berlipat dua setiap langkah, tetapi tidak persis. Hasil pencocokannya y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ, pertumbuhan sekitar 103,13% per langkah, dengan r² ≈ 0,9999 pada skala logaritma. Dalam basis e, k ≈ 0,7087, jadi waktu penggandaannya ln 2 / 0,7087, sekitar 0,98 langkah.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625Saldo 1000 yang mendapat bunga 5% per tahun. Kalkulator mendapatkan kembali y ≈ 1000 · 1,05ˣ, perubahan +5% per langkah, dengan r² = 1. Membaca kembali suku bunga dari daftar saldo memang kegunaan pencocokan ini.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1Titik-titik ini turun dengan jumlah yang sama di setiap langkah, jadi berada di garis lurus, y = -x + 5. Pencocokan eksponensial tetap menghasilkan y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ dengan r² ≈ 0,9473 pada skala logaritma, yang tampak lumayan. Gambar kurvanya bersama titik-titiknya dan kurva itu meleset di kedua ujung: garis lurus adalah model yang tepat di sini, dan regresi linear mencocokkannya dengan tepat.
Ambil logaritma natural dari setiap y, cocokkan garis kuadrat terkecil biasa pada titik-titik (x, ln y), lalu batalkan logaritmanya: b adalah e pangkat gradien dan a adalah e pangkat titik potong. Untuk y = 3, 6, 12, 24, 48 pada x = 0 sampai 4, garisnya punya gradien 0,6931 dan titik potong 1,0986, yang menghasilkan b = 2 dan a = 3, jadi y = 3·2ˣ.
a adalah nilai y saat x = 0, dan b adalah faktor pengali y untuk setiap kenaikan 1 pada x. b di atas 1 berarti pertumbuhan dan b di antara 0 dan 1 berarti peluruhan. Laju per langkahnya adalah (b dikurangi 1) dalam persen: b = 1,05 berarti +5%, b = 0,8195 berarti sekitar -18,05%.
Cocokkan kurvanya dan baca b. Kalkulator mencetak perubahan per langkah x sebagai persentase: +103,13% untuk contoh berlipat dua dengan derau di halaman ini, -18,05% untuk kopi yang mendingin. Kalau x diukur dalam tahun, itulah laju tahunannya.
Hanya notasinya. Keduanya kurva yang sama dengan k = ln b, jadi b = eᵏ. Bentuk basis e umum dipakai di sains karena k adalah laju kontinu, dan ln 2 / |k| langsung memberikan waktu penggandaan atau waktu paruh.
Karena metodenya mengambil logaritma, dan logaritma dari bilangan bulat hampir selalu irasional. Kalkulator regresi linear dan kuadratik dalam kumpulan ini memberikan pecahan eksak; kalkulator ini memberikan nilai yang dibulatkan sampai empat angka desimal dan menandainya sebagai pendekatan.
Seharusnya sama dengan ExpReg di TI-84 dan trendline eksponensial di Excel, yang keduanya mencocokkan ln y dengan kuadrat terkecil, sampai batas pembulatan. Perangkat lunak yang mencocokkan y secara langsung dengan kuadrat terkecil nonlinear meminimalkan besaran yang berbeda dan memberikan a dan b yang sedikit berbeda, karena memberi bobot terbesar pada meleset di nilai-nilai terbesar.
Tidak. Metodenya mengambil logaritma setiap y, dan ln 0 serta logaritma bilangan negatif tidak ada. Kurva y = a·bˣ dengan a positif selalu berada di atas 0, jadi data yang mencapai 0 memang tidak mengikuti kurva seperti itu.
