Tabel simpangan baris demi baris, bagian yang sebenarnya dinilai dari pekerjaanmu.
Terakhir diperbarui
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Ambil sebuah daftar bilangan dan rata-ratanya (mean). Setiap nilai berada pada jarak tertentu dari rata-rata itu, dan simpangan baku kira-kira adalah ukuran khas dari jarak-jarak tersebut. Simpangan baku tidak bisa berupa rata-rata biasa dari jarak itu, karena jarak di atas dan di bawah rata-rata selalu saling menghapus tepat menjadi nol. Jadi setiap jarak dikuadratkan dulu, kuadrat-kuadratnya dirata-ratakan, dan akar kuadrat di akhir membatalkan pengkuadratan sehingga jawabannya kembali ke satuan aslinya.
Itulah seluruh rumusnya, dan bagian yang benar-benar dinilai adalah bagian tengahnya: tabel setiap nilai dikurangi rata-rata, dan setiap selisih itu dikuadratkan. Halaman ini mencetak tabel itu secara lengkap, beserta jumlah yang dibagi oleh kedua varians. Kalkulator lain mencetak sigma lalu berhenti, padahal itulah satu-satunya bagian yang bisa dihitung siswa dengan ponsel.
Ada dua pembagi, dan bedanya penting. Bagi jumlahnya dengan n jika bilanganmu MEMANG seluruh kelompoknya, yaitu populasi. Bagi dengan n − 1 jika bilanganmu adalah sampel yang mewakili sesuatu yang lebih besar, karena rata-rata sebuah sampel sedikit terlalu dekat dengan nilai-nilainya sendiri, dan membagi dengan satu lebih sedikit mengimbanginya. Keduanya selalu ditampilkan di sini, jadi pembaginya adalah pilihanmu, bukan pilihan yang dibuat halaman untukmu.
Jumlahkan setiap nilai lalu bagi dengan banyaknya nilai. Biarkan tetap tepat: jika rata-ratanya 7/3, jangan tulis 2.33, karena galat itu akan segera dikuadratkan.
Inilah simpangannya. Sebagian negatif, dan itu wajar; sebagai pemeriksaan, jumlahnya harus tepat nol.
Pengkuadratan menghilangkan tanda dan memberi bobot lebih besar pada jarak yang jauh. Jumlahkan kuadrat-kuadratnya: hasilnya adalah jumlah kuadrat.
Dengan n jika nilai-nilai ini adalah seluruh kelompok yang kamu pedulikan; dengan n − 1 jika nilai-nilai ini sampel dari sesuatu yang lebih besar. Hasilnya adalah varians.
Itulah simpangan bakunya. Satuannya sama dengan data aslimu, sedangkan satuan varians tidak.
Bilangan yang sama dengan kedua pembagi. Perhatikan bagaimana selisih kedua jawaban menyempit saat daftarnya makin panjang.
| Nilai | Rata-rata | Jumlah kuadrat | σ (populasi) | s (sampel) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Kedelapan nilai berjumlah 40, jadi rata-ratanya 5. Simpangannya −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (jumlahnya nol, seperti seharusnya), dan jumlah kuadratnya 32. Dibagi n = 8, variansnya 4, dan akar kuadratnya tepat 2. Sebagai sampel nilainya 32/7, menghasilkan sekitar 2.138.
1, 2, 3, 4Rata-ratanya 2.5 dan jumlah kuadratnya 5. Dibagi 4, variansnya 5/4 dan simpangan bakunya √5/2 ≈ 1.118; dibagi 3, variansnya 5/3 dan simpangan bakunya sekitar 1.291. Jawaban sampel selalu lebih besar, karena rata-rata sebuah sampel sedikit terlalu menempel pada nilai-nilainya sendiri.
1, 2, 4Rata-ratanya 7/3, bukan 2.33. Simpangannya −4/3, −1/3 dan 5/3, dan kuadratnya 16/9, 1/9 dan 25/9, berjumlah 14/3. Membulatkan rata-rata lebih dulu akan membuang satu angka bahkan sebelum pengkuadratan dimulai, itulah sebabnya setiap baris tabel di sini berupa pecahan.
3, 3, 3Setiap simpangan nol, jadi jumlah kuadratnya nol dan simpangan bakunya juga nol. Hanya dengan cara itulah simpangan baku bisa nol: bukan "bilangannya kecil", tetapi "setiap nilainya sama".
100, 100, 100, 200Tiga nilai sama persis dan satu tidak, dan simpangan bakunya sekitar 43, lebih dari seperempat seluruh jangkauannya. Pengkuadratan jaraklah yang memberi satu nilai jauh itu bobot sebesar ini, dan justru itulah yang membuat ukuran ini bagus untuk menandai pencilan.
Pembaginya. Simpangan baku populasi membagi jumlah kuadrat dengan n, karena nilai-nilainya adalah seluruh kelompok. Sampel membagi dengan n − 1, karena rata-rata sebuah sampel sedikit terlalu dekat dengan nilai-nilainya sendiri, dan membagi dengan satu lebih sedikit mengimbanginya. Jawaban sampel selalu yang lebih besar dari keduanya.
Jika bilanganmu adalah semua yang kamu pedulikan, misalnya nilai seluruh kelas atau tinggi keenam anak, pakai rumus populasi. Jika bilanganmu sampel yang dipilih untuk mewakili sesuatu yang lebih besar, pakai n − 1. Kebanyakan tugas statistik meminta versi sampel, dan kebanyakan soal ujian menyebutkan mana yang diminta.
Cari rata-ratanya, kurangkan dari setiap nilai, kuadratkan setiap selisihnya, jumlahkan kuadrat-kuadratnya, bagi dengan n (atau n − 1), lalu ambil akar kuadratnya. Halaman ini mencetak seluruh tabel itu supaya kamu bisa membandingkan setiap barisnya dengan pengerjaanmu sendiri, bukan hanya angka akhirnya.
Karena jika tidak, jumlahnya selalu tepat nol: jarak positif dan negatif saling menghapus menurut definisi rata-rata. Pengkuadratan menghilangkan tandanya, dan juga memberi bobot lebih pada jarak yang jauh, itulah sebabnya satu pencilan yang jauh bisa banyak menggeser simpangan baku.
Varians adalah rata-rata dari simpangan yang dikuadratkan; simpangan baku adalah akar kuadratnya. Satuan varians ikut dikuadratkan, misalnya kilogram kuadrat atau sentimeter kuadrat, yang sulit ditafsirkan, jadi akarnya diambil untuk mengembalikan jawabannya ke satuan data.
Tidak pernah negatif: simpangan baku adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat. Nol hanya jika setiap nilainya identik, karena itulah satu-satunya kasus tanpa jarak dari rata-rata yang bisa diukur. Jika kamu mendapat bilangan negatif, ada tanda yang hilang di suatu tempat dalam tabel.
Kira-kira seberapa jauh nilai yang khas berada dari rata-rata. Untuk data dengan distribusi berbentuk lonceng, sekitar dua pertiga nilai terletak dalam satu simpangan baku dari rata-rata dan sekitar 95% dalam dua simpangan baku. Itulah yang membuatnya menjadi patokan standar untuk pertanyaan "apakah nilai ini tidak biasa?"
Karena pecahan itulah jawaban yang tepat. Rata-rata dari 1, 2 dan 4 adalah 7/3, dan setiap kuadrat yang dibangun dari 2.33 sedikit salah. Desimalnya ditawarkan di samping nilai tepatnya, bukan sebagai penggantinya, dan diberi label perkiraan setiap kali akarnya irasional.
