Ký hiệu khoảng

Ký hiệu khoảng không khó. Nó tùy ý, mà như thế còn tệ hơn. Không có lập luận nào đưa bạn từ "3 thuộc tập hợp này" đến "vậy dùng ngoặc vuông": ai đó đã chọn như vậy, và giờ bạn phải biết nó.

Điều thực sự giúp bạn nhớ là nhìn ba cách viết một tập hợp thay đổi cùng lúc. Kéo một đầu mút bên dưới, rồi chuyển nó giữa thuộc và không thuộc.

Hai loại ngoặc

Mọi khoảng đều được viết với đầu mút nhỏ trước, lớn sau, và mỗi đầu mút mang một trong hai dấu:

Đó là toàn bộ quy ước. Mọi thứ còn lại chỉ là ghi chép.

Vậy -2 <= x < 5, hơn hai ý trong một dòng, trở thành [-2, 5). Ngoặc vuông bên trái nói -2 thuộc tập hợp; ngoặc tròn bên phải nói 5 thì không.

Một cách kiểm tra hữu ích: hình dạng của ngoặc cùng kiểu với dấu bất phương trình. Ngoặc vuông có đầu phẳng, khép kín, giống gạch ngang phẳng dưới dấu ≤. Ngoặc tròn thì mở và cong, giống dấu < đơn thuần.

Vô cực luôn mở

x > 3 không có đầu mút trên, nên bạn viết (3, ∞).

Để ý ngoặc tròn bên phải. Đó không phải lựa chọn về phong cách mà là bắt buộc. Ngoặc vuông nghĩa là "đầu mút này thuộc tập hợp", mà vô cực không phải là một số, nên nó không thể thuộc bất cứ thứ gì. Viết [3, ∞] là khẳng định rằng có một giá trị bằng vô cực, đó là lý do mọi sách giáo khoa đều chấm nó sai.

Phía bên kia cũng vậy: x <= 5 là (-∞, 5], mở ở phía vô cực, đóng ở phía số 5.

Hai đoạn cùng lúc

Có những tập hợp không liền một khối. "Mọi số nhỏ hơn -2 hoặc lớn hơn 5" không thể viết thành một khoảng, vì các số ở giữa không thuộc tập hợp. Hãy nối các phần bằng phép hợp:

(-∞, -2) ∪ (5, ∞)

Luôn viết phần bên trái trước, và đừng bao giờ viết ngược thành [5, -2]. Số đầu tiên của một khoảng là số nhỏ hơn, nên một khoảng viết ngược chẳng mô tả gì cả.

Dạng này xuất hiện nhiều nhất khi tìm tập xác định. Tập xác định của 1/(x-3) là mọi số trừ 3, viết bằng khoảng là (-∞, 3) ∪ (3, ∞): cả trục số bị đục mất một điểm.

Từ bất phương trình đến khoảng

Hầu hết câu hỏi trong đề thi cho bạn một bất phương trình để giải rồi yêu cầu viết đáp án dưới dạng khoảng, nên hai nửa này quan trọng như nhau. Giải trước:

2x - 3 < 7

Đáp án là x < 5. Không có đầu mút dưới, và 5 không thuộc tập hợp, nên viết bằng ký hiệu khoảng là (-∞, 5).

Một cái bẫy khi giải: nhân hoặc chia cho một số âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức. -3x <= 12 trở thành x >= -4, không phải x <= -4, và nếu bỏ sót việc đổi chiều, bạn sẽ được một khoảng hướng đúng về phía ngược lại.

Thử một bài

2x - 3 < 7

Sau đó hãy đọc to đáp án dưới dạng khoảng trước khi làm tiếp. Giải được và viết được là hai kỹ năng riêng biệt, và kỹ năng thứ hai mới là chỗ hay bị mất điểm.