Ký hiệu tập hợp
Ký hiệu tập hợp là một bảng chữ cái nhỏ: dấu ngoặc nhọn liệt kê một tập hợp, ∈ cho biết một phần tử thuộc tập hợp đó, ∪ gộp hai tập hợp, ∩ giữ lại phần chung, và dấu phẩy trên đánh dấu mọi thứ còn lại. Mỗi ký hiệu là một vùng trên biểu đồ Venn.
Cập nhật lần cuối
Tập hợp là một nhóm các đối tượng khác nhau, gọi là các phần tử của tập hợp. Ký hiệu tập hợp là một số ít ký hiệu để liệt kê một tập hợp, cho biết cái gì thuộc về nó, và kết hợp hai tập hợp thành một tập hợp thứ ba. Chúng chưa đến một tá, và mỗi ký hiệu gọi tên một vùng trên biểu đồ Venn.
Ở đây A là tập các ước của 12 và B là tập các số chẵn, nằm trong tập vũ trụ U = {1, 2, ..., 12}. Chọn một phép toán và xem vùng nào được tô màu.
- U = {1, 2, ..., 12}
- số tự nhiên từ 1 đến 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- ước của 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- số chẵn
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Cách đọc A hợp B
Mọi thứ thuộc A, thuộc B, hoặc thuộc cả hai.
8 phần tử
Các ký hiệu
| ký hiệu | tên gọi | cách đọc | ví dụ với các tập hợp ở trên |
|---|---|---|---|
| { } | dấu ngoặc nhọn | "tập hợp" | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | thuộc | "thuộc" | 6 ∈ A |
| ∉ | không thuộc | "không thuộc" | 5 ∉ A |
| ⊆ | tập con | "là tập con của" | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | hợp | "A hợp B" | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | giao | "A giao B" | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | hiệu | "A trừ B" | A \ B = {1, 3} |
| A′ | phần bù | "phần bù của A" hoặc "không A" | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | hiệu đối xứng | "hiệu đối xứng của A và B" | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | tập rỗng | "tập rỗng" | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | tập vũ trụ | "tập vũ trụ" | mọi thứ đang được xét đến |
Mọi đáp án ở cột cuối đều có thể kiểm tra trên biểu đồ ở trên, và bạn nên tự làm bằng tay một lần: liệt kê A và B, rồi đọc kết quả của từng phép toán từ hai danh sách đó.
Viết một tập hợp
Cách liệt kê ghi các phần tử giữa hai dấu ngoặc nhọn: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Cách này đi kèm hai quy tắc. Thứ tự không quan trọng, việc lặp lại cũng vậy, nên {1, 2, 3}, {3, 2, 1} và {1, 1, 2, 3} là cùng một tập hợp.
Cách chỉ ra tính chất đặc trưng thì mô tả các phần tử bằng một quy tắc:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Đọc là "tập hợp các số tự nhiên x sao cho 12 chia cho x cũng là một số tự nhiên". Dấu gạch đứng nghĩa là "sao cho"; một số sách dùng dấu hai chấm. Đây là cách duy nhất để viết một tập hợp có vô số phần tử, chẳng hạn {x ∈ ℝ | x > 3}, mà ký hiệu khoảng viết gọn thành (3, ∞).
Mỗi tập hợp số có chữ cái riêng: ℕ cho số tự nhiên, ℤ cho số nguyên, ℚ cho số hữu tỉ và ℝ cho số thực.
Kết hợp hai tập hợp
Bốn phép toán đủ cho gần như mọi câu hỏi:
- Phép hợp, A ∪ B: mọi thứ nằm trong A hoặc trong B, hoặc trong cả hai. Đó là chữ "hoặc". Không phần tử nào được ghi hai lần, nên 2, 4, 6 và 12 chỉ xuất hiện một lần dù chúng nằm trong cả hai tập hợp.
- Phép giao, A ∩ B: chỉ những gì nằm đồng thời trong cả hai tập hợp. Đó là chữ "và".
- Phép hiệu, A \ B: những gì nằm trong A nhưng không nằm trong B. Thứ tự là quan trọng, vì B \ A = {8, 10} trong khi A \ B = {1, 3}. Một số sách viết phép này bằng dấu trừ.
- Phần bù, A′: mọi thứ trong tập vũ trụ mà không nằm trong A. Không có tập vũ trụ thì phần bù không xác định, và đó là lý do mọi biểu đồ Venn đều có một hình chữ nhật bao quanh.
Hiệu đối xứng, A △ B, là phép hợp bỏ đi phần giao: các phần tử nằm trong đúng một trong hai tập hợp.
Thuộc, hay là tập con
Đây là hai ký hiệu hay bị nhầm nhất trong chủ đề này, vì cả hai đều trả lời câu hỏi "nó có nằm trong đó không?".
- ∈ nối một phần tử với một tập hợp: 2 ∈ A.
- ⊆ nối một tập hợp với một tập hợp: {2} ⊆ A.
Viết "2 ⊆ A" là sai, vì 2 là một số chứ không phải tập hợp, và viết "{2} ∈ A" cũng sai vì lý do ngược lại: A chứa số 2 chứ không chứa tập hợp {2}.
Một tập hợp là tập con của tập hợp khác khi mọi phần tử của nó đều nằm trong tập hợp kia. Chỉ cần thiếu một phần tử là đủ để điều đó sai: A không phải tập con của B, vì 1 nằm trong A nhưng không nằm trong B. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, vì nó không có phần tử nào có thể bị thiếu.
Đếm bằng biểu đồ Venn
Số phần tử của một tập hợp được viết bằng hai dấu gạch đứng: |A| = 6. Để đếm phép hợp, cộng số phần tử của hai tập hợp rồi bớt đi phần giao, phần đã bị đếm hai lần:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Với các tập hợp ở trên, ta có 6 + 6 trừ 4, được 8, đúng bằng kết quả khi đếm trực tiếp phép hợp. Đây là nguyên lý bao hàm và loại trừ, và đó là cách giải các bài toán khảo sát kiểu "có bao nhiêu học sinh học tiếng Pháp hoặc tiếng Tây Ban Nha".
Đáp án là 18 + 12 trừ 5, tức là 25. Nếu bạn ra 30, thì 5 học sinh chơi cả hai môn đã bị đếm hai lần.
Tập hợp và logic là một
Phép hợp là "hoặc", phép giao là "và", còn phần bù là "không". Đó không phải một phép so sánh cho vui: một phần tử nằm trong A ∩ B đúng khi mệnh đề "nó nằm trong A và nó nằm trong B" là đúng. Trang toán rời rạc lập bảng chân trị cho những từ này, và cùng một biểu đồ Venn tô màu cho cả hai.
Câu hỏi thường gặp
Ký hiệu ∈ nghĩa là gì?
∈ nghĩa là "thuộc" hay "là phần tử của". 3 ∈ A cho biết 3 là một trong các phần tử của tập hợp A. Khi có gạch chéo, ∉ nghĩa là "không thuộc", nên 5 ∉ A cho biết 5 không nằm trong A. Ký hiệu này là chữ epsilon của Hy Lạp được cách điệu, lấy từ chữ element (phần tử).
∈ và ⊆ khác nhau thế nào?
∈ nối một phần tử với một tập hợp, còn ⊆ nối một tập hợp với một tập hợp. Nếu A = {1, 2, 3} thì 2 ∈ A và {2} ⊆ A đều đúng, nhưng 2 ⊆ A là sai, vì 2 là một số chứ không phải tập hợp. Đọc ⊆ là "là tập con của": mọi phần tử của tập hợp bên trái cũng nằm trong tập hợp bên phải.
Cách chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp là gì?
Đây là cách mô tả một tập hợp bằng một quy tắc thay vì một danh sách. {x | x > 3} đọc là "tập hợp tất cả các x sao cho x lớn hơn 3". Dấu gạch đứng, hoặc dấu hai chấm trong một số sách, nghĩa là "sao cho". Đây là cách duy nhất dùng được trong thực tế để viết một tập hợp có vô số phần tử.
Phép hợp và phép giao khác nhau thế nào?
Hợp A ∪ B chứa mọi thứ nằm trong A hoặc trong B hoặc trong cả hai. Giao A ∩ B chỉ chứa những gì nằm đồng thời trong A và trong B. Trên biểu đồ Venn, phép hợp là cả hai hình tròn gộp lại, còn phép giao là phần hình thấu kính nơi hai hình tròn chồng lên nhau, nên giao luôn nằm bên trong hợp.
Viết phần bù của một tập hợp như thế nào?
Phần lớn sách viết A′ (A phẩy), Aᶜ hoặc A có gạch ngang phía trên. Cả ba cùng một nghĩa: mọi phần tử của tập vũ trụ U không nằm trong A. Phần bù phụ thuộc vào U, nên luôn kiểm tra tập vũ trụ là gì trước khi bạn liệt kê phần bù.
Ký hiệu ∅ nghĩa là gì?
∅ là tập rỗng, tập hợp không có phần tử nào. Tập rỗng cũng có thể viết là {}. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, vì nó không có phần tử nào có thể bị thiếu trong một tập hợp khác. Lưu ý rằng {∅} không rỗng: đó là một tập hợp có một phần tử, và phần tử đó chính là tập rỗng.
⊂ và ⊆ khác nhau thế nào?
⊆ nghĩa là "là tập con của" và cho phép hai tập hợp bằng nhau. ⊂ thường có nghĩa là tập con thực sự, tức là nhỏ hơn tập hợp kia. Các sách không thống nhất ở điểm này: một số sách dùng ⊂ cho mọi tập con và viết ⊊ khi muốn nói tập con thực sự. Khi điều này quan trọng, hãy kiểm tra quy ước mà lớp học của bạn dùng.
