Số thập phân tuần hoàn

Lấy 1 chia cho 3. 10 chia cho 3 bằng 3, dư 1. Hạ một chữ số 0 xuống: 10 chia cho 3 bằng 3, dư 1, cứ thế lặp lại. Số dư vẫn lặp lại, nên chữ số đó cũng lặp lại mãi mãi: $\frac{1}{3}$ bằng 0.333... Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Thay vì dùng dấu chấm, người ta kẻ một gạch ngang phía trên các chữ số lặp lại: $0.\overline{3}$ nghĩa là chữ số 3 lặp lại mãi mãi, còn $0.\overline{09}$ nghĩa là cặp 09 lặp lại. Trong $0.1\overline{6}$, bằng $\frac{1}{6}$, chỉ có chữ số 6 lặp lại, nên gạch ngang chỉ nằm trên chữ số 6.

Phân số nào có phần thập phân lặp lại? Hệ thập phân của chúng ta đếm theo từng nhóm mười, và 10 là $2\cdot 5$. Phân số tối giản có phần thập phân hữu hạn khi mẫu số chỉ có thừa số nguyên tố là 2 và 5, chẳng hạn như 4, 8, 20 hoặc 25. Bất kỳ thừa số nguyên tố nào khác, chẳng hạn như 3, 7 hoặc 11, đều khiến phần thập phân lặp lại.