Parabola terbaik yang melalui titik-titikmu, dengan koefisien eksak dan R².
Terakhir diperbarui
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Sebagian data naik lalu turun, atau turun lalu naik: tinggi bola yang dilempar, keuntungan pada harga yang berbeda, bahan bakar yang dipakai mobil pada kecepatan yang berbeda. Garis lurus yang melewati data seperti itu bentuknya salah, sebaik apa pun posisinya. Regresi kuadratik mencocokkan parabola, y = ax² + bx + c, dan memilih a, b, dan c sehingga jumlah kuadrat selisih vertikal dari titik-titiknya sekecil mungkin. Idenya sama dengan kuadrat terkecil pada regresi linear, hanya ada satu koefisien tambahan yang harus dipilih.
Meminimalkan kuadrat selisih menghasilkan tiga persamaan dalam a, b, dan c, yang disebut persamaan normal, disusun dari jumlah x, x², x³, x⁴, y, xy, dan x²y. Kalkulator grafik menyelesaikannya dengan floating point. Halaman ini menyelesaikannya dengan pecahan tepat, jadi koefisien -8/7 ditulis sebagai -8/7, bukan -1.142857, dan R² juga berupa pecahan tepat.
Nilai prediksi dan residual setiap titik dicantumkan di bawah jawabannya. Kecocokan kuadratik yang baik menyisakan residual yang terlihat seperti derau, tersebar di atas dan di bawah nol tanpa pola. Kalau residualnya masih melengkung, atau terus membesar di sepanjang tabel, parabola juga bukan bentuk yang tepat, dan model lain layak dicoba.
Untuk setiap titik, hitung x, x², x³, x⁴, y, xy, dan x²y, lalu jumlahkan setiap kolom dan hitung banyaknya titik. Untuk x = 0, 1, 2, 3 dan y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45, dan Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, dan aΣx² + bΣx + cn = Σy. Dengan jumlah di atas: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45, dan 14a + 6b + 4c = 19.
Eliminasi satu huruf setiap kali, dengan pecahan tetap tepat. Sistem ini menghasilkan a = 1.25, b = -0.45, dan c = 1.05, jadi y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
Masukkan setiap x ke kurva dan kurangkan prediksinya dari nilai y sebenarnya. Di sini residualnya -0.05, 0.15, -0.15, dan 0.05, jumlah kuadratnya 0.05, dan R² = 1214/1215, sekitar 0.9992.
Setiap baris adalah satu kumpulan data yang diketik ke kalkulator di atas, dengan koefisien tepat dan R² yang dilaporkannya.
| Nilai x | Nilai y | Parabola paling cocok | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11Persamaan normalnya menghasilkan a = 1.25, b = -0.45, dan c = 1.05, jadi y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. Prediksinya 1.05, 1.85, 5.15, dan 10.95, residualnya -0.05, 0.15, -0.15, dan 0.05, dan R² = 1214/1215, sekitar 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8Parabola paling cocoknya y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 dengan R² = 887/917, sekitar 0.9673. Karena a negatif, kurvanya punya puncak, di x = 33/8 = 4.125 dan y = 697/56, sekitar 12.45. Garis lurus yang melewati titik-titik yang sama hanya mencapai r² = 375/917, sekitar 0.4089, karena garis tidak bisa berbelok.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Tinggi dalam meter dengan selang satu detik. Kecocokannya tepat: y = -5x² + 20x + 2 dengan setiap residual 0 dan R² = 1. Angka -5 adalah setengah percepatan gravitasi yang dibulatkan menjadi 10 m/s², angka 20 adalah kecepatan lemparan, dan angka 2 adalah tinggi awal lemparan. Puncaknya di x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4Ini adalah nilai-nilai (x - 1)², dan kalkulator mengembalikan y = x² - 2x + 1, parabola yang sama dalam bentuk dijabarkan, dengan R² = 1 dan setiap residual 0. Ini cara cepat untuk mengecek apakah sekumpulan nilai benar-benar berasal dari satu fungsi kuadrat.
Mencocokkan parabola y = ax² + bx + c ke data dengan metode kuadrat terkecil: memilih a, b, dan c sehingga jumlah kuadrat jarak vertikal dari titik-titik ke kurva sekecil mungkin. Metode ini dipakai saat diagram pencar naik lalu turun, atau turun lalu naik, alih-alih mengikuti garis lurus.
Jumlahkan x, x², x³, x⁴, y, xy, dan x²y dari semua titik, lalu selesaikan tiga persamaan normal aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, dan aΣx² + bΣx + cn = Σy. Untuk x = 0, 1, 2, 3 dan y = 1, 2, 5, 11, penyelesaiannya a = 1.25, b = -0.45, c = 1.05.
Setidaknya tiga, dengan setidaknya tiga nilai x yang berbeda. Dengan tepat tiga titik, parabolanya melewati semuanya dan R² otomatis bernilai 1, jadi dibutuhkan empat titik atau lebih sebelum kecocokannya mengatakan sesuatu tentang data.
R² = 1 dikurangi (jumlah kuadrat residual) dibagi (total variasi y di sekitar rata-ratanya). Nilai ini adalah bagian variasi y yang dijelaskan oleh parabola. Untuk y = 2, 6, 11, 13, 12, 8 pada x = 1 sampai 6, R² = 887/917, sekitar 0.9673.
Regresi kuadratik adalah regresi polinomial berderajat 2. Kecocokan berderajat 3 menambahkan suku x³ dan persamaan normal keempat, dan seterusnya. Derajat yang lebih tinggi selalu lebih dekat ke titik-titiknya, dan setelah titik tertentu ia mencocokkan derau, bukan trennya, jadi derajat 2 biasanya batas yang wajar untuk kumpulan data kecil.
Sama seperti untuk parabola mana pun: x = -b/(2a), lalu masukkan x itu ke persamaan untuk mendapat y. Untuk y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7, hasilnya x = 33/8 dan y = 697/56, sekitar 12.45, yaitu tempat tren hasil pencocokan mencapai puncaknya.
Karena menyelesaikan persamaan normal pada data yang bisa kamu ketik selalu menghasilkan bilangan rasional, dan pecahannya adalah jawaban tepatnya. -8/7 adalah koefisien utamanya; -1.142857 hanya pembulatannya. Tombol Salin memberikan kurvanya dalam desimal untuk spreadsheet.
