من الزاوية إلى الأضلاع

في مضلع منتظم ذي n أضلاع، يتوزع مجموع الزوايا (n - 2) × 180 بالتساوي على n زوايا. وللعودة من قياس زاوية واحدة إلى عدد الأضلاع، اكتب مجموع الزوايا بطريقتين واجعلهما متساويين.

لنفترض أن قياس كل زاوية هو 150°. مجموع الزوايا n هو 150 × n، ومجموع الزوايا هو أيضًا (n - 2) × 180. إذن (n - 2) × 180 = 150 × n. انشر ما داخل القوس: 180 × n - 360 = 150 × n. اطرح 150n من الطرفين: 30 × n = 360، لذا n = 12. مضلع منتظم ذو 12 ضلعًا.

إذا لم يكن n عددًا صحيحًا، فلا يوجد مضلع منتظم له تلك الزاوية.