Was ist eine Ausgleichsgerade?

Eine Gerade, die durch ein Streudiagramm gelegt wird, um den Trend der Punkte zusammenzufassen. Im genauen Sinn ist die Ausgleichsgerade die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate: von allen möglichen Geraden die eine, deren senkrechte Abweichungen von den Punkten, quadriert und addiert, die kleinste Summe ergeben.

Wie findet man die Ausgleichsgerade?

Bestimme den Mittelwert von x und den Mittelwert von y. Die Steigung ist die Summe von (x minus Mittelwert von x) mal (y minus Mittelwert von y), geteilt durch die Summe von (x minus Mittelwert von x) zum Quadrat. Der Achsenabschnitt ist der Mittelwert von y minus Steigung mal Mittelwert von x. Für x = 2, 4, 6, 8, 10 und y = 3, 7, 8, 12, 15 ergibt das eine Steigung von 58/40 = 1,45 und einen Achsenabschnitt von 9 minus 1,45 × 6 = 0,3, also y = 1,45x + 0,3.

Muss die Ausgleichsgerade durch den Ursprung gehen?

Nein. Sie geht durch den Mittelwertpunkt, nicht durch den Ursprung. Sie durch (0, 0) zu zwingen ist ein anderes Modell, das man nur verwendet, wenn y aus einem bestimmten Grund 0 sein muss, wenn x gleich 0 ist, und es passt im Allgemeinen schlechter zu den Punkten.

Muss die Ausgleichsgerade durch einen der Punkte gehen?

Nein, und meistens geht sie durch keinen. Der einzige Punkt, durch den sie immer geht, ist (Mittelwert von x, Mittelwert von y), und dieser Punkt ist oft keiner der Datenpunkte. Eine Gerade, die so gezeichnet ist, dass sie möglichst viele Punkte berührt, ist nicht die Gerade der kleinsten Quadrate.

Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?

Interpolation heißt, y für ein x innerhalb des Datenbereichs vorherzusagen, wo die Gerade auf beiden Seiten Punkte hat, die sie stützen. Extrapolation heißt, außerhalb dieses Bereichs vorherzusagen, wo nichts in den Daten sagt, dass der Trend weitergeht. Interpolation ist bei guter Anpassung meist verlässlich; Extrapolation kann selbst bei r nahe 1 grob danebenliegen.

Ist eine Ausgleichsgerade dasselbe wie eine lineare Regression?

Ja, im üblichen Sinn. Die lineare Regression ist das Verfahren, und die Gerade der kleinsten Quadrate, die es liefert, ist die Ausgleichsgerade. In der Schule heißt auch eine nach Augenmaß ins Diagramm gezeichnete Gerade Ausgleichsgerade, aber sie ist eine Schätzung der Regressionsgeraden, nicht die Gerade selbst.

Ausgleichsgerade

Durch jede Punktwolke gibt es genau eine Gerade, die die Punkte am wenigsten verfehlt, gemessen nach der Methode der kleinsten Quadrate. Zieh die Punkte, und sie bewegt sich so, dass sie die beste bleibt.

Von Nethanel Bar, Mitgründer & CEO

Zuletzt aktualisiert 23. September 2026

Trag irgendwelche echten Daten auf, und die Punkte weigern sich, auf einer Geraden zu liegen. Trotzdem kannst du eine Gerade durch die Wolke zeichnen, die den Trend erfasst, und verschiedene Leute mit Linealen zeichnen leicht verschiedene. Die Ausgleichsgerade beendet den Streit: Es gibt eine Gerade, die nach einem genauen Maß die beste ist, und eine Formel, die sie findet.

Zieh unten einen beliebigen Punkt, und die Gerade bewegt sich so, dass sie die Ausgleichsgerade bleibt. Zieh einen Punkt weit weg von den anderen und achte darauf, wie stark er die Gerade zu sich zieht.

y = x + 1Steigung1Achsenabschnitt1

Zieh einen beliebigen Punkt, und die Gerade bewegt sich so, dass sie die Ausgleichsgerade bleibt. Punkte weit weg vom Rest ziehen am stärksten.

Was „beste“ bedeutet

Eine Gerade verfehlt jeden Punkt um einen senkrechten Abstand: das tatsächliche y des Punktes minus das y, das die Gerade an dieser Stelle x vorhersagt. Dieser Abstand ist das Residuum des Punktes. Eine gute Gerade sollte die Residuen klein machen, aber du kannst sie nicht einfach addieren, denn Abweichungen über der Geraden sind positiv, Abweichungen darunter negativ, und sie heben sich auf.

Deshalb wird jedes Residuum zuerst quadriert. So zählt jede Abweichung, und eine große Abweichung zählt viel mehr als eine kleine. Die Ausgleichsgerade ist die Gerade, die die Summe der quadrierten Residuen so klein wie möglich macht. Darum heißt sie die Gerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, und für jede Punktmenge, deren x-Werte nicht alle gleich sind, gibt es genau eine davon.

Die zwei Formeln

Schreib die Gerade als y = mx + b und bezeichne die Mittelwerte der Daten mit x̄ und ȳ. Wer die Quadratsumme minimiert, bekommt Steigung und Achsenabschnitt direkt:

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

Der Zähler der Steigungsformel ist dieselbe Summe von Produkten, die im Zähler des Korrelationskoeffizienten steht, und deshalb haben die Steigung und r immer dasselbe Vorzeichen. Der Nenner enthält nur x: Er misst, wie weit die x-Werte gestreut sind.

Ein gerechnetes Beispiel

Fünf Punkte: x = 2, 4, 6, 8, 10 und y = 3, 7, 8, 12, 15. Der Mittelwert von x ist 6, der von y ist 9.

x	y	x - 6	y - 9	Produkt	(x - 6)²
2	3	-4	-6	24	16
4	7	-2	-2	4	4
6	8	0	-1	0	0
8	12	2	3	6	4
10	15	4	6	24	16
			Summe	58	40

Die Steigung ist m = 58/40 = 29/20, also 1,45. Für den Achsenabschnitt setzt du den Mittelwertpunkt in die Gerade ein und löst nach b auf:

Also ist b = 3/10, und die Ausgleichsgerade ist y = 1.45x + 0.3. Der Rechner für lineare Regression macht dieselbe Arbeit mit der Form der Formeln, die laufende Summen nutzt, und zeigt jede Summe.

Sie geht immer durch den Mittelwertpunkt

Stell die Formel für den Achsenabschnitt um, und du bekommst ȳ = m x̄ + b. Das heißt, der Punkt (x̄, ȳ) liegt genau auf der Geraden, egal wie die Daten aussehen. Im Beispiel ist 1,45 × 6 + 0,3 = 9.

Das ist eine nützliche Kontrolle für jede Gerade, die du berechnest, und ein nützlicher Anfang, wenn du eine nach Augenmaß zeichnest: Markiere zuerst den Mittelwertpunkt und dreh dann das Lineal um ihn, bis die Punkte auf beiden Seiten im Gleichgewicht sind.

Durch den Mittelwertpunkt zu gehen reicht allein aber nicht. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ist der Mittelwertpunkt (3, 4) und die Gerade der kleinsten Quadrate y = 0.6x + 2.2, mit einer Summe der Residuenquadrate von 2,4. Die Geraden y = 0.5x + 2.5 und y = x + 1 gehen ebenfalls durch (3, 4), und ihre Quadratsummen sind 2,5 und 4. Von allen Geraden durch diesen Punkt kommt nur die mit Steigung 0,6 auf 2,4 hinunter.

Mit der Geraden vorhersagen

Hast du die Gerade, ist eine Vorhersage nur ein Einsetzen. Mit y = 1.45x + 0.3 ergibt ein x von 7 den Wert 1,45 × 7 + 0,3 = 10,45.

Diese Vorhersage ist eine Interpolation: 7 liegt innerhalb der Daten, zwischen den Punkten bei 6 und 8, es gibt also auf beiden Seiten Belege, dass der Trend dort gilt. Eine Vorhersage außerhalb des Datenbereichs ist eine Extrapolation, und nichts in den Daten stützt sie.

Ein konkreter Fall. Sechs Schüler haben 1 bis 6 Stunden gelernt und 52, 58, 61, 67, 70 und 76 Punkte erreicht. Die Ausgleichsgerade ist y = 162/35x + 47.8, eine Steigung von etwa 4,63 Punkten pro Stunde, mit r ≈ 0,9959. Innerhalb der Daten sagt sie gut voraus: 4,5 Stunden ergeben etwa 68,63. Extrapolierst du auf 12 Stunden, sagt sie etwa 103,34 voraus, in einem Test mit höchstens 100 Punkten. Die Gerade ist in Ordnung; der Trend, den sie beschreibt, hört irgendwo hinter den Daten einfach auf, und die Gerade kann nicht wissen, wo.

Wenn eine Gerade die falsche Form hat

Eine Ausgleichsgerade gibt es immer, auch wenn eine Gerade das falsche Modell ist. Die Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25 bei x = 0 bis 5 haben die Ausgleichsgerade y = 5x - 10/3 mit r ≈ 0,9599, was hervorragend klingt, und trotzdem liegen die Punkte auf einer Kurve. Die Residuen verraten es: positiv an beiden Enden und negativ in der Mitte. Die Seite zu den Residuen zeigt, wie man dieses Muster liest, und der Rechner für quadratische Regression passt stattdessen die Kurve an.

Probier eine

Der tatsächliche Punkt bei x = 4 ist (4, 7), die Gerade verfehlt ihn also um 0,9. Diese Abweichung ist das Residuum des Punktes, und die Summe aller fünf quadrierten Abweichungen, 1,9, ist die kleinste, die eine Gerade für diese Punkte erreichen kann.

Häufige Fragen

Was ist eine Ausgleichsgerade?: Eine Gerade, die durch ein Streudiagramm gelegt wird, um den Trend der Punkte zusammenzufassen. Im genauen Sinn ist die Ausgleichsgerade die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate: von allen möglichen Geraden die eine, deren senkrechte Abweichungen von den Punkten, quadriert und addiert, die kleinste Summe ergeben.
Wie findet man die Ausgleichsgerade?: Bestimme den Mittelwert von x und den Mittelwert von y. Die Steigung ist die Summe von (x minus Mittelwert von x) mal (y minus Mittelwert von y), geteilt durch die Summe von (x minus Mittelwert von x) zum Quadrat. Der Achsenabschnitt ist der Mittelwert von y minus Steigung mal Mittelwert von x. Für x = 2, 4, 6, 8, 10 und y = 3, 7, 8, 12, 15 ergibt das eine Steigung von 58/40 = 1,45 und einen Achsenabschnitt von 9 minus 1,45 × 6 = 0,3, also y = 1,45x + 0,3.
Muss die Ausgleichsgerade durch den Ursprung gehen?: Nein. Sie geht durch den Mittelwertpunkt, nicht durch den Ursprung. Sie durch (0, 0) zu zwingen ist ein anderes Modell, das man nur verwendet, wenn y aus einem bestimmten Grund 0 sein muss, wenn x gleich 0 ist, und es passt im Allgemeinen schlechter zu den Punkten.
Muss die Ausgleichsgerade durch einen der Punkte gehen?: Nein, und meistens geht sie durch keinen. Der einzige Punkt, durch den sie immer geht, ist (Mittelwert von x, Mittelwert von y), und dieser Punkt ist oft keiner der Datenpunkte. Eine Gerade, die so gezeichnet ist, dass sie möglichst viele Punkte berührt, ist nicht die Gerade der kleinsten Quadrate.
Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?: Interpolation heißt, y für ein x innerhalb des Datenbereichs vorherzusagen, wo die Gerade auf beiden Seiten Punkte hat, die sie stützen. Extrapolation heißt, außerhalb dieses Bereichs vorherzusagen, wo nichts in den Daten sagt, dass der Trend weitergeht. Interpolation ist bei guter Anpassung meist verlässlich; Extrapolation kann selbst bei r nahe 1 grob danebenliegen.
Ist eine Ausgleichsgerade dasselbe wie eine lineare Regression?: Ja, im üblichen Sinn. Die lineare Regression ist das Verfahren, und die Gerade der kleinsten Quadrate, die es liefert, ist die Ausgleichsgerade. In der Schule heißt auch eine nach Augenmaß ins Diagramm gezeichnete Gerade Ausgleichsgerade, aber sie ist eine Schätzung der Regressionsgeraden, nicht die Gerade selbst.