Yang klasik: akar 72
plain
sqrt(72)72 = 2 pangkat tiga x 3 pangkat dua. Pasangannya 2x2 dan 3x3, yang mengirim 2 dan 3 ke luar, menyisakan satu angka 2 di dalam. Jadi akar 72 = 6 akar 2, dan mengkuadratkannya kembali memberi 36 x 2 = 72.
Kalkulator Bentuk Akar
Sederhanakan, gabungkan, dan rasionalkan bentuk akar: jawabannya berupa bentuk, bukan desimal.
Terakhir diperbarui
Ingin menyelesaikan soal ini tanpa kalkulator?
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Jawaban soal bentuk akar adalah sebuah bentuk, bukan desimal
Kalkulator akan memberitahumu bahwa akar kuadrat dari 72 adalah 8.4852814. Itu hampir tidak pernah jawaban yang diminta soal bentuk akar. Yang diminta adalah 6 kali akar kuadrat dari 2: besaran yang sama, ditulis sehingga tidak ada lagi bilangan kuadrat sempurna yang bersembunyi di bawah tanda akar. Perbedaan itulah inti seluruh materinya: menyederhanakan bentuk akar adalah menulis ulang, bukan menghitung nilai, dan desimal membuang ketepatan yang justru diminta untuk dipertahankan.
Semuanya di halaman ini tepat. Akar kuadrat dari 72 adalah 6 akar 2, akar pangkat tiga dari 54 adalah 3 kali akar pangkat tiga dari 2, akar kuadrat dari dua per tiga adalah akar 6 per 3, dan satu per dua tambah akar 3 tepat sama dengan 2 dikurangi akar 3. Desimal ditampilkan di samping setiap jawaban, diberi label jelas sebagai hampiran, karena kadang kamu memang ingin tahu kira-kira seberapa besar nilainya, tapi desimal tidak pernah diberikan sebagai pengganti jawabannya.
Tiga pertanyaan ada di halaman ini karena ketiganya memakai satu keterampilan yang sama. Menyederhanakan mencari pangkat sempurna terbesar di dalam bilangan di bawah akar. Menjumlahkan memberi tahu apakah dua bentuk akar sejenis, yang tidak bisa kamu ketahui sebelum keduanya disederhanakan. Merasionalkan memindahkan akar keluar dari penyebut dengan memakai akar itu sendiri atau bentuk sekawannya. Ketiganya kembali ke aturan yang sama: akar dari hasil kali adalah hasil kali dari akar-akarnya.
Yang perlu diperhatikan
- Keluarkan bilangan kuadrat sempurna yang TERBESAR, bukan yang pertama kamu lihat. 72 adalah 4 kali 18, dan berhenti di situ menyisakan akar 18, yang belum bentuk paling sederhana. 72 juga 36 kali 2, dan 6 akar 2 sudah selesai.
- Faktorisasi prima adalah tempat pangkat sempurna itu berada. Begitu 72 ditulis sebagai 2 pangkat tiga kali 3 pangkat dua, setiap pasangan bilangan prima yang sama adalah satu faktor yang bisa keluar dari tanda akar kuadrat.
- Dua bentuk akar hanya bisa dijumlahkan kalau bilangan yang tersisa di bawah tandanya sama persis. Akar 8 ditambah akar 18 bisa, karena keduanya diam-diam kelipatan akar 2. Akar 8 ditambah akar 27 tidak bisa, dan 2 akar 2 ditambah 3 akar 3 adalah jawaban akhirnya.
- Pecahan di bawah tanda akar dan akar di penyebut adalah masalah yang sama. Akar dari dua per tiga belum bentuk paling sederhana; mengalikan bagian dalamnya dengan 3 per 3 mengubahnya menjadi akar 6 per 3, yang sudah paling sederhana.
- Indeks akar menentukan pangkat mana yang bisa keluar. Di bawah akar kuadrat kamu butuh pasangan, di bawah akar pangkat tiga butuh kelompok tiga, di bawah akar pangkat empat butuh kelompok empat. Itulah sebabnya akar pangkat tiga dari 54 mengeluarkan 3, bukan 6.
Cara menyederhanakan bentuk akar secara manual
Faktorkan bilangan di bawah akar menjadi bilangan prima
Tulis bilangan di bawah tanda akar sebagai hasil kali bilangan prima. Untuk 72 hasilnya 2 x 2 x 2 x 3 x 3, atau 2 pangkat tiga kali 3 pangkat dua. Melakukannya lebih dulu berarti kamu tidak perlu menebak apakah ada bilangan kuadrat sempurna yang bersembunyi di situ.
Kelompokkan bilangan primanya sesuai indeks
Untuk akar kuadrat, kumpulkan bilangan prima menjadi pasangan; untuk akar pangkat tiga, menjadi kelompok tiga. Pada 72, pasangannya 2 x 2 dan 3 x 3, dan satu angka 2 tersisa sendirian.
Satu faktor keluar dari tanda akar untuk setiap kelompok lengkap
Setiap pasangan menyumbang satu salinan bilangan prima itu ke luar akar. Pasangan 2 memberi 2 dan pasangan 3 memberi 3, jadi 6 keluar, dan angka 2 yang sendirian tetap di bawah: 6 akar 2.
Hilangkan pecahan dari bawah tanda akar
Kalau masih ada penyebut di dalam, kalikan pembilang dan penyebut di dalamnya dengan bilangan yang membuat penyebutnya menjadi pangkat sempurna. Untuk dua per tiga, kalikan dengan 3 per 3 untuk mendapat 6 per 9, dan hasilnya akar 6 per 3.
Cek dengan mengkuadratkan kembali jawabanmu
6 akar 2 dikuadratkan adalah 36 kali 2, yaitu 72. Pengecekan itu menangkap kesalahan paling umum dalam satu baris: mengeluarkan faktor yang terlalu kecil menyisakan kuadrat yang kurang dari bilangan di bawah akar.
Bentuk akar paling sederhana
Kasus yang paling sering muncul, dengan pangkat sempurna yang berperan disebutkan di setiap baris.
| Bentuk akar | Pangkat sempurna di dalamnya | Bentuk paling sederhana | Kira-kira |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | tidak ada: hilangkan angka 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | tidak ada: rasionalkan | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | tidak ada: pakai sekawan | 2 - √3 | 0.268 |
Contoh pengerjaan
Ada koefisien di depan: 3 akar 8
plain
3*sqrt(8)Sederhanakan bentuk akarnya dulu: akar 8 adalah 2 akar 2. Lalu kalikan koefisiennya: 3 x 2 = 6, jadi jawabannya 6 akar 2. Koefisien tidak pernah masuk ke bawah tanda akar.
Menjumlahkan yang tampaknya tidak bisa dijumlahkan: akar 8 + akar 18
plain
sqrt(8) + sqrt(18)Tidak ada suku yang menyebut akar 2 sampai kamu menyederhanakannya: akar 8 adalah 2 akar 2 dan akar 18 adalah 3 akar 2. Sekarang keduanya akar sejenis, jadi jumlahkan koefisiennya: 5 akar 2.
Akar tidak sejenis: akar 8 + akar 27
plain
sqrt(8) + sqrt(27)Setelah disederhanakan, keduanya menjadi 2 akar 2 dan 3 akar 3. Bilangan yang berbeda di bawah tanda akar berarti keduanya tidak sejenis, jadi 2 akar 2 + 3 akar 3 adalah jawabannya: tidak ada lagi yang perlu dikerjakan.
Akar di penyebut: 3 per akar 2
plain
3/sqrt(2)Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar 2. Nilainya tidak berubah, karena akar 2 per akar 2 sama dengan 1, dan penyebutnya menjadi 2. Jawabannya 3 akar 2 per 2.
Bentuk sekawan: 1 per (2 tambah akar 3)
plain
1/(2 + sqrt(3))Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2 dikurangi akar 3. Penyebutnya lalu menjadi 2 kuadrat dikurangi akar 3 kuadrat, yaitu 4 - 3 = 1, jadi seluruhnya tepat sama dengan 2 - akar 3.
Kesalahan umum
- Mengeluarkan bilangan kuadrat sempurna yang pertama, bukan yang terbesar. Menulis akar 72 sebagai 2 akar 18 memang benar tapi belum selesai, dan dinilai salah sebagai jawaban untuk "bentuk akar paling sederhana".
- Menjawab dengan desimal. 8.485 bukan akar kuadrat dari 72; itu hanya pembulatannya. Kalau soalnya memakai tanda akar, jawabannya tetap memakai tanda akar kecuali akarnya keluar bulat.
- Menjumlahkan bilangan di bawah tanda akar. Akar 4 ditambah akar 9 adalah 2 + 3 = 5, bukan akar 13. Bentuk akar hanya dijumlahkan sebagai akar sejenis, tidak pernah di dalam tandanya.
- Mengalikan bentuk akar dengan indeks yang berbeda. Akar 2 kali akar pangkat tiga dari 2 bukan akar 2 atau akar pangkat tiga dari 4: aturan perkalian butuh kedua indeksnya sama sebelum boleh digabungkan.
- Membiarkan akar di penyebut. Akar 2 per 2 dan 1 per akar 2 adalah bilangan yang sama, tapi hanya yang pertama dalam bentuk paling sederhana; yang kedua masih punya akar di bawah.
- Menganggap akar dari jumlah sama dengan jumlah akar-akarnya. Akar dari 9 + 16 adalah akar 25 = 5, bukan 3 + 4 = 7. Aturan perkalian memisahkan hasil kali, bukan jumlah.
- Lupa bahwa akar genap dari bilangan negatif bukan bilangan real, sedangkan akar ganjil bisa. Tidak ada akar pangkat empat real dari -16, tapi akar pangkat tiga dari -8 tepat -2.
Pertanyaan umum tentang bentuk akar
Apa itu bentuk akar paling sederhana?
Bentuk akar dikatakan paling sederhana kalau bilangan di bawah tandanya tidak lagi punya faktor pangkat sempurna, tidak ada pecahan di dalam tanda akar, dan tidak ada akar di penyebut. Jadi 6 akar 2 adalah bentuk paling sederhana dan 2 akar 18 bukan, meskipun keduanya bilangan yang sama.
Bagaimana cara menyederhanakan akar kuadrat?
Faktorkan bilangan di bawah akar menjadi bilangan prima, kumpulkan bilangan primanya menjadi pasangan, lalu keluarkan satu salinan dari setiap pasangan ke luar tanda akar. Yang tidak berpasangan tetap di bawah. Akar 72 menjadi 6 akar 2 karena 72 adalah 2 pangkat tiga kali 3 pangkat dua.
Kenapa tidak langsung memberi desimalnya?
Karena desimal adalah hampiran dan bentuk akar itu tepat. Akar 2 tidak punya desimal yang berhenti, jadi 1.414 sudah salah di angka keempat; jawaban ujian, aljabar lanjutan, dan pencoretan apa pun sesudahnya butuh bentuk tepat supaya tetap benar.
Kapan dua bentuk akar bisa dijumlahkan?
Hanya kalau bilangan yang tersisa di bawah tandanya sama setelah disederhanakan, dan indeksnya sama. Lalu keduanya berperilaku persis seperti x + x: jumlahkan koefisiennya dan pertahankan bentuk akarnya. Akar 8 ditambah akar 18 adalah 5 akar 2; akar 8 ditambah akar 27 sama sekali tidak bisa digabungkan.
Bagaimana cara merasionalkan penyebut?
Kalau penyebutnya satu akar, kalikan pembilang dan penyebut dengan akar itu. Kalau penyebutnya berupa jumlah atau selisih seperti 2 tambah akar 3, kalikan dengan bentuk sekawannya, 2 dikurangi akar 3: selisih dua kuadrat yang dihasilkan tidak mengandung akar. Apa pun caranya, kamu mengalikan dengan 1, jadi nilainya tidak pernah berubah.
Apa itu bentuk sekawan?
Dua suku yang sama dengan tanda di antaranya dibalik: sekawan dari 3 dikurangi 2 akar 2 adalah 3 ditambah 2 akar 2. Mengalikan sebuah binomial dengan sekawannya menghasilkan selisih dua kuadrat, dan mengkuadratkan akar kuadrat menghilangkannya: itulah yang membersihkan penyebut.
Bisakah aku menyederhanakan akar pangkat tiga dan pangkat empat di sini?
Bisa, dengan indeks apa pun dari 2 sampai 6. Aturannya berlaku umum: di bawah akar pangkat tiga, kamu mencari kelompok tiga bilangan prima yang sama, bukan pasangan, jadi akar pangkat tiga dari 54 adalah 3 kali akar pangkat tiga dari 2 karena 54 adalah 27 kali 2.
Kenapa √(2/3) tidak sama dengan √2/√3?
Sebenarnya sama: keduanya bilangan yang sama, dan keduanya belum dalam bentuk paling sederhana. Akar kuadrat dari pecahan 2/3 sama dengan √2 dibagi √3, dan mengalikan pembilang dan penyebut dengan √3 memberi √6 per 3, yang tidak punya akar di penyebut dan sudah menjadi jawaban akhirnya.
