Sinus, cosinus i tangens
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a przyprostokątna naprzeciw kątab przyprostokątna przy kąciec przeciwprostokątna
Wzory trygonometryczne
Wszystkie wzory z trygonometrii na jednej karcie: trzy podstawowe funkcje, tożsamości, które z nich wynikają, wzory na kąty, twierdzenia sinusów i cosinusów, radiany i wykresy.
Ostatnia aktualizacja
Wszystkie wzory z trygonometrii na jednej stronie: trzy podstawowe funkcje, tożsamości, wzory na kąty, twierdzenia dla dowolnego trójkąta, radiany i wykresy. Każda litera jest opisana pod swoim wzorem. Przełącz na Sprawdź mnie, żeby ukryć wzory i sprawdzić się, albo wydrukuj całą kartę.
Funkcje trygonometryczne
Odwrotności funkcji
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Tangens i cotangens jako iloraz
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Kąty szczególne
Kątsincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Tożsamości
Jedynka trygonometryczna
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Parzystość i nieparzystość
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Wzory redukcyjne
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Wzory na kąty
Wzory na sumę i różnicę kątów
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Wzory na kąt podwojony
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Wzory na kąt połówkowy
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Obniżanie potęgi
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Iloczyn na sumę
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Suma na iloczyn
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Trójkąty
Twierdzenie sinusów
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C kątya, b, c boki naprzeciw nich
Twierdzenie cosinusów
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C kątya, b, c boki naprzeciw nich
Pole trójkąta
- Pole
- A = ½ab sin C
C kąt między bokami a i b
Radiany i wykresy
Radiany, łuki i wycinki
- 180° = π rad
- Stopnie na radiany
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Długość łuku
- s = rθ
- Pole wycinka
- A = ½r²θ
r promieńθ kąt w radianachs długość łuku
Wykresy sinusa i cosinusa
- y = A sin(Bx − C) + D
- Amplituda
- |A|
- Okres
- 2π / |B|
- Przesunięcie fazowe
- C / B
- Linia środkowa
- y = D
Wszystko zaczyna się od trzech stosunków
W trójkącie prostokątnym wybierz jeden z dwóch kątów ostrych i nazwij go θ. Przyprostokątna naprzeciw niego to przyprostokątna przeciwległa, ta przy nim to przyprostokątna przyległa, a najdłuższy bok to przeciwprostokątna. Wtedy:
- sin θ = przeciwległa / przeciwprostokątna
- cos θ = przyległa / przeciwprostokątna
- tan θ = przeciwległa / przyległa
W polskich szkołach tangens i cotangens zapisuje się jako tg i ctg; karta używa międzynarodowego zapisu tan i cot, ale chodzi o to samo. Prawie każdy inny wiersz karty to jeden z tych trzech stosunków, tylko przekształcony.
Tożsamości to jeden fakt, podzielony
Umieść trójkąt w okręgu o promieniu 1. Przeciwprostokątna ma długość 1, więc przyprostokątne to dokładnie cos θ i sin θ, a twierdzenie Pitagorasa daje sin²θ + cos²θ = 1.
Z tego jednego wiersza wynikają dwa pozostałe. Podziel każdy wyraz przez cos²θ, a dostaniesz tan²θ + 1 = sec²θ; podziel zamiast tego przez sin²θ, a dostaniesz 1 + cot²θ = csc²θ. Strona o okręgu jednostkowym pokazuje, jak trójkąt obraca się po okręgu.
Wzory na kąty wynikają z dwóch
Naucz się wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Wszystko w dziale wzorów na kąty z nich wynika:
- Kąt podwojony: wstaw B = A do wzoru na sumę, a sin(A + A) zmieni się w 2 sin A cos A.
- Obniżanie potęgi: wyznacz sin²θ ze wzoru cos 2θ = 1 − 2sin²θ.
- Kąt połówkowy: wzór na obniżenie potęgi, w którym θ zapisujesz jako połowę 2θ, a potem pierwiastek.
- Różnica: zastąp B przez −B i skorzystaj z parzystości i nieparzystości.
Dowolny trójkąt, nie tylko prostokątny
Stosunki wymagają kąta prostego. W każdym innym trójkącie oznacz każdy kąt wielką literą, a bok naprzeciw niego tą samą małą literą. Wtedy:
- Twierdzenie sinusów łączy każdy bok z kątem naprzeciw niego. Użyj go, gdy znasz bok i kąt naprzeciw niego.
- Twierdzenie cosinusów to twierdzenie Pitagorasa z poprawką na kąt: gdy C = 90°, to cos C = 0 i zostaje c² = a² + b². Użyj go, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.
Stopnie i radiany
Pełny obrót to 360°, czyli 2π radianów, więc 180° = π radianów. Tożsamości są prawdziwe w obu jednostkach. Długość łuku s = rθ i pole wycinka A = ½r²θ wymagają θ w radianach: właśnie dlatego są takie krótkie.
Spróbuj sam
Co dalej
Skąd biorą się te wartości, wyjaśniają strony SOHCAHTOA i okrąg jednostkowy. Na karcie wzorów z geometrii znajdziesz wzory na pole, objętość i współrzędne.
Częste pytania
Czy jest karta wzorów trygonometrycznych do druku?
Tak. Wszystko z tej strony jest też dostępne jako darmowy PDF w formacie A4 i jako PNG. Przyciski pobierania są nad kartą i jeszcze raz pod nią.
Jakie są trzy tożsamości pitagorejskie?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ oraz 1 + cot²θ = csc²θ. Na pamięć warto znać tylko pierwszą, jedynkę trygonometryczną: podziel ją przez cos²θ, a dostaniesz drugą, przez sin²θ, a dostaniesz trzecią.
Kiedy używać twierdzenia sinusów, a kiedy cosinusów?
Twierdzenia sinusów używasz, gdy znasz kąt i bok naprzeciw niego oraz jeszcze jeden bok lub kąt. Twierdzenia cosinusów używasz, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. W trójkącie prostokątnym nie potrzebujesz żadnego z nich: wystarczą sin, cos i tan.
Których wzorów trygonometrycznych trzeba się nauczyć na pamięć?
Trzech podstawowych funkcji, sin²θ + cos²θ = 1 oraz wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Wzory na kąt podwojony to wzory na sumę z B = A, wzory na kąt połówkowy i na obniżenie potęgi wynikają ze wzorów na kąt podwojony, a odwrotności i ilorazy to po prostu definicje.
Czy wzory działają w stopniach i w radianach?
Tak, każda tożsamość jest prawdziwa w obu jednostkach. Radianów wymagają tylko wzory, które łączą kąt z długością: długość łuku s = rθ i pole wycinka A = ½r²θ są prawdziwe tylko wtedy, gdy θ jest w radianach.
