Kwadrat
- Pole
- A = s²
- Obwód
- P = 4s
s bok
Wzory z geometrii
Wszystkie wzory ze szkolnej geometrii na jednej karcie: pole i obwód, koło i okrąg, trójkąty, objętość i pole powierzchni oraz współrzędne, każdy z rysunkiem i opisem każdej litery.
Ostatnia aktualizacja
Wszystkie wzory ze szkolnej geometrii na jednej stronie. Każda figura ma swój rysunek, więc widać, która długość jest podstawą, a która wysokością, a każda litera jest opisana pod wzorem. Przełącz na Sprawdź mnie, żeby ukryć wzory i sprawdzić się, albo wydrukuj całą kartę.
Pole i obwód
Prostokąt
- Pole
- A = lw
- Obwód
- P = 2l + 2w
l długośćw szerokość
Trójkąt
- Pole
- A = ½bh
- Obwód
- P = a + b + c
b podstawah wysokośća, b, c boki
Równoległobok
- Pole
- A = bh
- Obwód
- P = 2a + 2b
b podstawah wysokośća bok
Trapez
- Pole
- A = ½(a + b)h
a, b podstawyh wysokość
Romb
- Pole
- A = ½d₁d₂
- Obwód
- P = 4s
d₁, d₂ przekątnes bok
Wielokąt foremny
- Pole
- A = ½aP
- Suma kątów wewnętrznych
- S = (n − 2) · 180°
- Każdy kąt wewnętrzny
- (n − 2) · 180° / n
a apotemaP obwódn liczba boków
Koło i okrąg
Koło i okrąg
- Długość okręgu
- C = 2πr = πd
- Pole
- A = πr²
- d = 2r
r promieńd średnica
Łuk i wycinek koła
- Długość łuku
- L = (θ / 360°) · 2πr
- Pole wycinka
- A = (θ / 360°) · πr²
θ kąt środkowyr promień
Równanie okręgu
- (x − h)² + (y − k)² = r²
(h, k) środekr promień
Trójkąty
Twierdzenie Pitagorasa
- a² + b² = c²
a, b przyprostokątnec przeciwprostokątna
Kąty
- Kąty trójkąta
- α + β + γ = 180°
- Kąty dopełniające
- α + β = 90°
- Kąty przyległe
- α + β = 180°
Szczególne trójkąty prostokątne
- Boki 30-60-90
- x : x√3 : 2x
- Boki 45-45-90
- x : x : x√2
Trójkąt równoboczny
- Pole
- A = (√3 / 4)s²
- Wysokość
- h = (√3 / 2)s
s bok
Wzór Herona
- Pole
- A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
- s = (a + b + c) / 2
a, b, c bokis połowa obwodu
Objętość i pole powierzchni
Sześcian
- Objętość
- V = s³
- Pole powierzchni
- SA = 6s²
s bok
Prostopadłościan
- Objętość
- V = lwh
- Pole powierzchni
- SA = 2(lw + lh + wh)
l długośćw szerokośćh wysokość
Graniastosłup
- Objętość
- V = Bh
- Pole powierzchni
- SA = 2B + Ph
B pole podstawyP obwód podstawyh wysokość
Walec
- Objętość
- V = πr²h
- Pole powierzchni
- SA = 2πr² + 2πrh
r promieńh wysokość
Stożek
- Objętość
- V = ⅓πr²h
- Pole powierzchni
- SA = πr² + πrℓ
- ℓ = √(r² + h²)
r promieńh wysokośćℓ tworząca lub wysokość ściany bocznej
Ostrosłup
- Objętość
- V = ⅓Bh
- Pole powierzchni
- SA = B + ½Pℓ
B pole podstawyP obwód podstawyh wysokośćℓ tworząca lub wysokość ściany bocznej
Kula
- Objętość
- V = ⁴⁄₃πr³
- Pole powierzchni
- SA = 4πr²
r promień
Geometria analityczna
Odległość dwóch punktów
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) dwa punkty
Środek odcinka
- M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) dwa punkty
Współczynnik kierunkowy
- m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- Proste równoległe
- m₁ = m₂
- Proste prostopadłe
- m₁ · m₂ = −1
m współczynnik kierunkowy
Równanie prostej
- Postać kierunkowa
- y = mx + b
- Prosta przez punkt
- y − y₁ = m(x − x₁)
m współczynnik kierunkowyb wyraz wolny
Jak czytać kartę
Znajdź figurę i dopasuj każdą literę ze wzoru do rysunku. Litery są takie jak zwykle w podręcznikach: b to podstawa, h to wysokość, r to promień. Wysokość zawsze mierzy się pod kątem prostym do podstawy, dlatego rysunki pokazują ją linią przerywaną z małym kwadracikiem: w pochylonej figurze, takiej jak równoległobok, wysokość to nie pochyły bok.
Wielkie B oznacza pole podstawy, a nie długość. We wzorze V = Bh najpierw liczysz pole podstawy (trójkąta, koła, dowolnej figury), a potem mnożysz je przez wysokość. W polskich podręcznikach pole podstawy zwykle oznacza się jako Pp, chodzi o to samo.
Pole, obwód i objętość odpowiadają na różne pytania
Weź prostokąt 3 cm na 4 cm. Jego obwód to długość drogi dookoła: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm. Jego pole mówi, ile kwadratów 1 cm na 1 cm mieści się w środku: 3 · 4 = 12 cm². Zrób z niego pudełko o wysokości 5 cm, a objętość powie, ile sześcianów o krawędzi 1 cm się w nim zmieści: 3 · 4 · 5 = 60 cm³.
Jednostki podpowiadają, którego wzoru potrzebujesz. Długość razy długość to pole, długość razy długość razy długość to objętość. Jeśli wynik dla objętości wyszedł w jednostkach kwadratowych, brakuje jednego czynnika.
Wzorów jest mniej, niż się wydaje
Większość karty to kilka pomysłów zastosowanych do różnych figur.
- Trójkąt to połowa równoległoboku. Dwie kopie dowolnego trójkąta składają się w równoległobok o tej samej podstawie i wysokości, więc pole wynosi ½bh.
- Trapez to prostokąt o średniej szerokości. Jego pole ½(a + b)h to średnia dwóch podstaw razy wysokość.
- Wszystko, co ma ten sam przekrój od dołu do góry, to podstawa razy wysokość. Sześcian, prostopadłościan, graniastosłup i walec używają V = Bh; zmienia się tylko pole podstawy.
- Wszystko, co kończy się wierzchołkiem, to jedna trzecia. Stożek i ostrosłup mieszczą jedną trzecią walca lub graniastosłupa wokół nich, więc V = ⅓Bh.
- W kole wszystko kręci się wokół π. Długość okręgu to 2πr, pole to πr², a łuk lub wycinek to taka sama część tych wartości, jaką jego kąt stanowi z 360°.
Przykład z rozwiązaniem
Puszka ma 10 cm wysokości i promień 3 cm. Ile się w niej zmieści?
To walec, więc V = πr²h. Podstawa to koło o polu π · 3² = 9π, a wysokość wynosi 10, więc objętość to 90π, około 283 cm³. To 283 ml: trochę mniej niż standardowa puszka napoju o pojemności 330 ml.
Spróbuj sam
Co dalej
Wzory mówią, co policzyć, a kalkulator twierdzenia Pitagorasa i kalkulator objętości wykonają obliczenia i pokażą każdy krok. Kąty i stosunki boków w trójkątach znajdziesz na następnej stronie: wzory trygonometryczne.
Częste pytania
Czy jest karta wzorów z geometrii do druku?
Tak. Karta z tej strony jest też dostępna jako darmowy PDF w formacie A4 i jako PNG, z tymi samymi rysunkami i wzorami. Przyciski pobierania są nad kartą i jeszcze raz pod nią.
Czym różni się pole od pola powierzchni?
Pole mierzy płaską figurę: ile papieru zakrywa prostokąt. Pole powierzchni mierzy zewnętrzną stronę bryły: ile papieru trzeba, żeby owinąć pudełko. Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól jego sześciu ścian, stąd wzór SA = 2(lw + lh + wh).
Dlaczego objętość stożka to jedna trzecia objętości walca?
Stożek mieści się w walcu o tej samej podstawie i wysokości i zajmuje dokładnie jedną trzecią jego objętości: napełnij stożek wodą trzy razy, a walec będzie pełny. Ta sama jedna trzecia pojawia się dla ostrosłupa w graniastosłupie, więc V = (1/3)Bh obejmuje oba przypadki.
Których wzorów z geometrii trzeba się nauczyć na pamięć?
Mniej, niż sugeruje karta. Naucz się prostokąta, trójkąta (połowa prostokąta), koła, V = Bh dla wszystkiego, co ma proste ściany i ten sam przekrój, oraz jednej trzeciej dla wszystkiego, co kończy się wierzchołkiem. Większość pozostałych to te same wzory z konkretną podstawą.
W jakich jednostkach podaje się pole i objętość?
Długości i obwody podaje się w zwykłych jednostkach (cm), pola w jednostkach kwadratowych (cm²), a objętości w sześciennych (cm³). Sprawdzenie jednostek to najszybszy sposób, żeby wyłapać zły wzór: jeśli objętość wyszła w cm², zabrakło jednej długości.
Chcesz to policzyć na własnych liczbach?
Kalkulator objętości Otwórz kalkulator