Garis terbaik yang melalui titik-titikmu, eksak, dengan r dan setiap langkah pengerjaannya.
Terakhir diperbarui
Kursus matematika Coddy mengajarkan metodenya: kamu mengerjakan setiap langkah di papan interaktif dan diberi tahu persis di mana sebuah langkah keliru.
Data nyata tidak pernah terletak pada satu garis lurus, jadi garis apa pun yang kamu tarik melewatinya akan meleset dari sebagian besar titik. Setiap selisih itu adalah residual: nilai y sebenarnya dikurangi nilai y yang diprediksi garis. Regresi linear mengkuadratkan setiap residual, menjumlahkan kuadratnya, lalu memilih satu garis yang membuat totalnya sekecil mungkin. Garis itu adalah garis regresi kuadrat terkecil, disebut juga garis paling cocok, dan hanya ada tepat satu garis seperti itu untuk sekumpulan titik yang nilai x-nya tidak semuanya sama.
Untuk mencarinya dibutuhkan lima bilangan: banyaknya data n serta jumlah x, y, xy, dan x². Kemiringannya (gradien) adalah m = (nΣxy dikurangi ΣxΣy) dibagi (nΣx² dikurangi (Σx)²), dan intersepnya b = (Σy dikurangi mΣx) dibagi n. Halaman ini menyusun tabel jumlah tersebut, memasukkan bilanganmu ke kedua rumus, dan menampilkan setiap baris pengerjaannya, karena tabel itulah yang dicek oleh guru.
Kemiringan dan intersep disimpan sebagai pecahan tepat. Untuk data yang terdiri dari bilangan bulat, desimal, dan pecahan, keduanya selalu rasional, jadi kemiringan 162/35 ditulis sebagai 162/35, bukan 4.6286 yang hanya pembulatannya. Koefisien korelasi r adalah akar kuadrat, jadi ditampilkan sebagai bentuk akar dengan desimalnya di samping. Tombol Salin memberimu garisnya dalam bentuk desimal, siap untuk spreadsheet.
Tulis setiap titik sebagai satu baris dengan empat kolom: x, y, xy, dan x². Jumlahkan setiap kolom dan hitung banyaknya titik. Untuk x = 1, 2, 3, 4, 5 dan y = 2, 4, 5, 4, 5, hasilnya n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, dan Σx² = 55.
m = (nΣxy dikurangi ΣxΣy) / (nΣx² dikurangi (Σx)²). Di sini hasilnya (5 × 66 dikurangi 15 × 20) / (5 × 55 dikurangi 15²) = 30 / 50 = 0.6. Biarkan dalam bentuk pecahan kalau hasilnya bukan desimal yang pendek.
b = (Σy dikurangi mΣx) / n. Di sini (20 dikurangi 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Pakai kemiringan tepat dari langkah sebelumnya, bukan yang sudah dibulatkan.
y = 0.6x + 2.2. Cek bahwa garis ini melewati titik rata-rata (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Kalau tidak, ada jumlah yang salah.
Hitung r, atau lihat residualnya. Di sini r = √15/5, sekitar 0.7746, dan residualnya -0.8, 0.6, 1, -0.6, dan -0.2, dengan jumlah kuadrat 2.4.
Setiap baris adalah satu kumpulan data yang diketik ke kalkulator di atas. Kemiringan dan intersepnya tepat; r ditampilkan sebagai bentuk akar beserta desimalnya.
| Nilai x | Nilai y | Garis paling cocok | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Jumlah-jumlahnya Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, dan Σx² = 55 dengan n = 5. Kemiringannya 30/50 = 0.6 dan intersepnya 11/5 = 2.2, jadi garisnya y = 0.6x + 2.2. Residualnya -0.8, 0.6, 1, -0.6, dan -0.2, yang jumlahnya 0, dan jumlah kuadratnya 2.4. Korelasinya r = √15/5, sekitar 0.7746: kuat dan positif.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76Rata-ratanya 3.5 jam dan 64 poin. Kemiringannya 162/35, sekitar 4.63 poin per jam, dan intersepnya 64 dikurangi (162/35) × 3.5 = 47.8, jadi y = (162/35)x + 47.8 dengan r ≈ 0.9959. Pada 4.5 jam, garis ini memprediksi 2402/35, sekitar 68.63. Pada 12 jam, prediksinya sekitar 103.34 untuk ujian bernilai maksimal 100: ekstrapolasi yang tidak didukung oleh datanya.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1Setiap kenaikan 1 pada x menurunkan y sebesar 2, jadi titik-titiknya tepat berada pada y = -2x + 7. Kalkulator menemukan garis itu, setiap residualnya 0, jumlah kuadrat residualnya 0, dan r = -1: korelasi negatif sempurna.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15Garisnya y = 1.45x + 0.3 dengan r ≈ 0.9889, dan garis ini melewati titik rata-rata (6, 9). Pada x = 7, di dalam rentang data, prediksinya 10.45, dan itu interpolasi yang bisa kamu percaya sejauh kecocokannya. Pada x = 60, prediksinya 87.3, lima puluh satuan melewati titik terakhir, di mana tidak ada apa pun dalam data yang menyatakan trennya masih berlaku.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25Garis paling cocoknya y = 5x - 10/3 dengan r ≈ 0.9599, yang terdengar sangat bagus. Residualnya 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3, dan 10/3: positif di kedua ujung, negatif di tengah. Bentuk U itu berarti titik-titiknya terletak pada kurva, dan regresi kuadratik mencocokkannya dengan tepat sebagai y = x².
Buat tabel berisi x, y, xy, dan x² untuk setiap titik, lalu jumlahkan setiap kolom. Kemiringannya m = (nΣxy dikurangi ΣxΣy) / (nΣx² dikurangi (Σx)²) dan intersepnya b = (Σy dikurangi mΣx) / n. Untuk x = 1 sampai 5 dan y = 2, 4, 5, 4, 5, hasilnya m = 30/50 = 0.6 dan b = 11/5 = 2.2, jadi y = 0.6x + 2.2. Halaman ini menampilkan tabel yang sama dan mengisi kedua rumus supaya kamu bisa mengecek setiap barisnya.
Garis lurus yang membuat jumlah kuadrat residual sekecil mungkin, dengan residual adalah nilai y sebenarnya dari sebuah titik dikurangi nilai y yang diprediksi garis. Garis ini unik selama nilai x-nya tidak semuanya sama. Untuk lima titik di atas, tidak ada garis lain yang membuat jumlah kuadratnya di bawah 2.4.
Kemiringan adalah besarnya perubahan y, rata-rata, untuk setiap kenaikan 1 pada x, dalam satuan y per satuan x. Intersep adalah nilai y yang diprediksi saat x bernilai 0. Intersep hanya bermakna kalau x = 0 berada di dalam atau dekat rentang data; regresi berat badan terhadap tinggi badan punya intersep pada tinggi 0 yang tidak menggambarkan orang sungguhan.
Ya. Dalam statistika, garis paling cocok adalah garis regresi kuadrat terkecil, dan itulah yang dihitung kalkulator ini. Garis paling cocok yang ditarik dengan perkiraan di kertas adalah taksirannya, dan garis itu seharusnya melewati titik rata-rata, seperti yang selalu dilakukan garis hasil perhitungan.
Tergantung bidangnya. r² adalah bagian variasi y yang dijelaskan oleh garis, jadi 0.9 berarti 90%. Pengukuran dari eksperimen fisika yang terkendali sering mencapai 0.99; data tentang manusia sering berhenti di 0.3 sampai 0.5 dan tetap berguna. r² yang tinggi tidak membuktikan bahwa garis lurus adalah bentuk yang tepat, jadi cek juga residualnya.
Dua titik sudah menentukan sebuah garis, jadi kalkulator ini menerima dua titik, tapi garis yang melewati dua titik selalu cocok sempurna dan tidak mengatakan apa pun tentang datanya. Dengan tiga titik atau lebih, residual, r, dan r² mulai membawa informasi, dan semakin banyak titik, semakin andal kemiringannya.
Di dalam rentang nilai x-mu, bisa: itu interpolasi, dan hasilnya sebagus kecocokannya. Di luar rentang itu namanya ekstrapolasi, dan tidak ada apa pun dalam data yang menyatakan trennya berlanjut. Contoh nilai ujian di halaman ini memprediksi sekitar 103 poin untuk 12 jam belajar, pada ujian bernilai maksimal 100.
Karena kemiringan dan intersep garis kuadrat terkecil pada data rasional adalah bilangan rasional, dan pecahannya adalah nilai tepatnya. 162/35 adalah kemiringannya; 4.6286 hanya pembulatannya, dan setiap prediksi yang dibuat dari pembulatan itu ikut membawa galatnya. Tombol Salin memberi desimal saat kamu membutuhkannya.
