Garis Kecocokan Terbaik
Di antara sekumpulan titik mana pun, hanya ada satu garis yang paling sedikit melesetnya, diukur dengan cara kuadrat terkecil. Geser titik-titiknya, dan garis itu ikut bergerak agar tetap menjadi yang terbaik.
Terakhir diperbarui
Gambarkan data nyata apa pun, dan titik-titiknya tidak mau berada pada satu garis. Kamu tetap bisa menarik garis melewati kumpulan titik itu yang menangkap trennya, dan orang yang berbeda dengan penggarisnya masing-masing akan menarik garis yang sedikit berbeda. Garis kecocokan terbaik menyelesaikan perdebatan itu: ada satu garis yang terbaik menurut ukuran yang tepat, dan ada rumus yang menemukannya.
Geser titik mana pun di bawah ini, dan garisnya ikut bergerak agar tetap menjadi yang paling cocok. Tarik satu titik jauh dari yang lain dan perhatikan seberapa kuat titik itu menarik garis ke arahnya.
Geser titik mana pun, dan garisnya bergerak agar tetap paling cocok. Titik yang jauh dari yang lain menariknya paling kuat.
Apa arti "terbaik"
Sebuah garis meleset dari setiap titik sejauh suatu jarak tegak: y sebenarnya dari titik itu dikurangi y yang diprediksi garis di x tersebut. Jarak itu adalah residual titik tersebut. Garis yang baik seharusnya membuat residualnya kecil, tetapi kamu tidak bisa sekadar menjumlahkannya, karena selisih di atas garis bernilai positif dan selisih di bawah garis bernilai negatif, sehingga keduanya saling meniadakan.
Jadi setiap residual dikuadratkan dulu. Dengan begitu setiap selisih ikut dihitung, dan selisih yang besar jauh lebih berpengaruh daripada selisih yang kecil. Garis kecocokan terbaik adalah garis yang membuat jumlah kuadrat residual sekecil mungkin. Itulah sebabnya garis ini disebut garis kuadrat terkecil, dan untuk setiap kumpulan titik yang nilai x-nya tidak semuanya sama, garis seperti itu hanya ada satu.
Dua rumusnya
Tulis garisnya sebagai y = mx + b, dengan rata-rata data ditulis x̄ dan ȳ. Meminimalkan jumlah kuadrat langsung menghasilkan gradien dan titik potongnya:
m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²
b = ȳ - m x̄
Bagian atas rumus gradien adalah jumlah hasil kali yang sama dengan bagian atas koefisien korelasi, dan itulah sebabnya gradien dan r selalu punya tanda yang sama. Bagian bawahnya hanya melibatkan x: bagian itu mengukur seberapa tersebar nilai-nilai x.
Contoh soal
Lima titik: x = 2, 4, 6, 8, 10 dan y = 3, 7, 8, 12, 15. Rata-rata x adalah 6 dan rata-rata y adalah 9.
| x | y | x - 6 | y - 9 | hasil kali | (x - 6)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | -4 | -6 | 24 | 16 |
| 4 | 7 | -2 | -2 | 4 | 4 |
| 6 | 8 | 0 | -1 | 0 | 0 |
| 8 | 12 | 2 | 3 | 6 | 4 |
| 10 | 15 | 4 | 6 | 24 | 16 |
| total | 58 | 40 |
Gradiennya m = 58/40 = 29/20, yaitu 1,45. Untuk titik potongnya, masukkan titik rata-rata ke dalam persamaan garis lalu selesaikan untuk b:
Jadi b = 3/10 dan garis kecocokan terbaiknya adalah y = 1.45x + 0.3. Kalkulator regresi linear mengerjakan hal yang sama dengan bentuk rumus yang memakai jumlah berjalan, dan menampilkan setiap jumlahnya.
Garis ini selalu melewati titik rata-rata
Susun ulang rumus titik potong, dan kamu mendapat ȳ = m x̄ + b. Artinya, titik (x̄, ȳ) terletak tepat pada garis itu, apa pun datanya. Dalam contoh tadi, 1,45 × 6 + 0,3 = 9.
Ini cara memeriksa yang berguna untuk setiap garis yang kamu hitung, dan titik awal yang berguna saat kamu menariknya dengan perkiraan mata: tandai titik rata-ratanya dulu, lalu putar penggaris di sekitar titik itu sampai titik-titiknya seimbang di kedua sisi.
Namun, melewati titik rata-rata saja tidak cukup. Untuk x = 1, 2, 3, 4, 5 dan y = 2, 4, 5, 4, 5, titik rata-ratanya (3, 4) dan garis kuadrat terkecilnya y = 0.6x + 2.2, dengan jumlah kuadrat residual 2,4. Garis y = 0.5x + 2.5 dan y = x + 1 juga sama-sama melewati (3, 4), dan jumlah kuadratnya 2,5 dan 4. Di antara semua garis yang melewati titik itu, hanya gradien 0,6 yang bisa turun sampai 2,4.
Memprediksi dengan garis
Setelah garisnya ditemukan, prediksi hanyalah substitusi. Dengan y = 1.45x + 0.3, x sebesar 7 menghasilkan 1,45 × 7 + 0,3 = 10,45.
Prediksi itu adalah interpolasi: 7 berada di dalam data, di antara titik di 6 dan 8, jadi ada bukti di kedua sisi bahwa trennya berlaku di sana. Prediksi di luar rentang data adalah ekstrapolasi, dan tidak ada apa pun dalam data yang mendukungnya.
Satu kasus nyata. Enam siswa belajar selama 1 sampai 6 jam dan mendapat nilai 52, 58, 61, 67, 70, dan 76. Garis kecocokan terbaiknya adalah y = 162/35x + 47.8, gradien sekitar 4,63 poin per jam, dengan r ≈ 0,9959. Di dalam data, prediksinya bagus: 4,5 jam memberi sekitar 68,63. Ekstrapolasikan ke 12 jam, dan garis itu memprediksi sekitar 103,34, untuk tes yang nilai maksimalnya 100. Garisnya tidak salah; tren yang digambarkannya hanya berhenti di suatu tempat setelah data berakhir, dan garis itu tidak bisa tahu di mana.
Saat garis lurus adalah bentuk yang salah
Garis kecocokan terbaik selalu ada, bahkan ketika garis lurus adalah model yang salah. Bilangan kuadrat 0, 1, 4, 9, 16, 25 pada x = 0 sampai 5 punya garis kecocokan terbaik y = 5x - 10/3 dengan r ≈ 0,9599, yang terdengar sangat bagus, padahal titik-titiknya terletak pada sebuah kurva. Residualnya membongkar hal itu: positif di kedua ujung dan negatif di tengah. Halaman residual menunjukkan cara membaca pola itu, dan kalkulator regresi kuadratik mencocokkan kurvanya.
Coba satu soal
Titik sebenarnya di x = 4 adalah (4, 7), jadi garisnya meleset sejauh 0,9. Selisih itu adalah residual titik tersebut, dan jumlah kelima kuadrat selisihnya, 1,9, adalah yang terkecil yang bisa dicapai garis lurus mana pun untuk titik-titik ini.
Pertanyaan umum
Apa itu garis kecocokan terbaik?
Garis lurus yang ditarik melewati diagram pencar untuk meringkas tren titik-titiknya. Dalam arti yang tepat, garis kecocokan terbaik adalah garis regresi kuadrat terkecil: dari semua garis lurus yang mungkin, garis yang jarak tegaknya ke titik-titik, setelah dikuadratkan dan dijumlahkan, memberi total terkecil.
Bagaimana cara mencari garis kecocokan terbaik?
Cari rata-rata x dan rata-rata y. Gradiennya adalah jumlah dari (x dikurangi rata-rata x) dikali (y dikurangi rata-rata y), dibagi jumlah dari (x dikurangi rata-rata x) kuadrat. Titik potongnya adalah rata-rata y dikurangi gradien dikali rata-rata x. Untuk x = 2, 4, 6, 8, 10 dan y = 3, 7, 8, 12, 15, hasilnya gradien 58/40 = 1,45 dan titik potong 9 dikurangi 1,45 × 6 = 0,3, jadi y = 1,45x + 0,3.
Apakah garis kecocokan terbaik harus melewati titik asal?
Tidak. Garis itu melewati titik rata-rata, bukan titik asal. Memaksanya melewati (0, 0) adalah model yang berbeda, yang hanya dipakai kalau ada alasan bahwa y harus 0 ketika x bernilai 0, dan model itu umumnya lebih tidak cocok dengan titik-titiknya.
Apakah garis kecocokan terbaik harus melewati salah satu titik data?
Tidak, dan biasanya garis itu tidak melewati satu pun. Satu-satunya titik yang selalu dilewatinya adalah (rata-rata x, rata-rata y), dan titik itu sering kali bukan salah satu titik data. Garis yang ditarik agar menyentuh sebanyak mungkin titik bukanlah garis kuadrat terkecil.
Apa bedanya interpolasi dan ekstrapolasi?
Interpolasi adalah memprediksi y untuk x di dalam rentang data, tempat garisnya punya titik-titik pendukung di kedua sisi. Ekstrapolasi adalah memprediksi di luar rentang itu, tempat tidak ada apa pun dalam data yang menunjukkan bahwa trennya berlanjut. Interpolasi umumnya bisa dipercaya kalau kecocokannya baik; ekstrapolasi bisa sangat meleset bahkan dengan r yang mendekati 1.
Apakah garis kecocokan terbaik sama dengan regresi linear?
Ya, dalam arti yang biasa. Regresi linear adalah metodenya, dan garis kuadrat terkecil yang dihasilkannya adalah garis kecocokan terbaik. Garis yang ditarik dengan perkiraan mata pada grafik juga disebut garis kecocokan terbaik di sekolah, tetapi itu hanya taksiran dari garis regresi, bukan garis itu sendiri.
Ingin mencobanya dengan angkamu sendiri?
Kalkulator Regresi Linear Buka kalkulator