Seno, coseno e tangente
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a cateto oppostob cateto adiacentec ipotenusa
Formule trigonometriche
Tutte le formule di trigonometria in un solo foglio: i tre rapporti, le identità che ne derivano, le formule degli angoli, i teoremi dei seni e del coseno, i radianti e i grafici.
Ultimo aggiornamento
Tutte le formule di trigonometria in una sola pagina: i tre rapporti, le identità, le formule degli angoli, i teoremi per qualsiasi triangolo, i radianti e i grafici. Ogni simbolo è spiegato sotto la sua formula. Passa alla modalità Mettimi alla prova per nascondere le formule e vedere quante ne ricordi, oppure stampa tutto il foglio.
Rapporti trigonometrici
Identità reciproche
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Identità del quoziente
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Angoli notevoli
Angolosincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Identità
Identità pitagoriche
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Parità
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Angoli complementari
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Formule degli angoli
Formule di addizione e sottrazione
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Formule di duplicazione
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Formule di bisezione
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Formule di linearizzazione
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Formule di Werner
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Formule di prostaferesi
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Triangoli
Teorema dei seni
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C angolia, b, c i lati opposti
Teorema del coseno
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C angolia, b, c i lati opposti
Area di un triangolo
- Area
- A = ½ab sin C
C l'angolo tra i lati a e b
Radianti e grafici
Radianti, archi e settori
- 180° = π rad
- Da gradi a radianti
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Lunghezza dell'arco
- s = rθ
- Area del settore
- A = ½r²θ
r raggioθ angolo in radiantis lunghezza dell'arco
Grafici di seno e coseno
- y = A sin(Bx − C) + D
- Ampiezza
- |A|
- Periodo
- 2π / |B|
- Sfasamento
- C / B
- Linea media
- y = D
Tutto parte da tre rapporti
In un triangolo rettangolo, scegli uno dei due angoli acuti e chiamalo θ. Il lato di fronte a lui è il cateto opposto, il lato accanto è il cateto adiacente e il lato più lungo è l'ipotenusa. Allora:
- sin θ = opposto / ipotenusa
- cos θ = adiacente / ipotenusa
- tan θ = opposto / adiacente
Quasi tutte le altre righe del foglio sono uno di questi tre rapporti, riscritto.
Le identità sono un solo fatto, diviso
Metti il triangolo dentro una circonferenza di raggio 1. L'ipotenusa vale 1, quindi i due cateti sono esattamente cos θ e sin θ, e il teorema di Pitagora dà sin²θ + cos²θ = 1.
Da questa riga vengono le altre due. Dividi ogni termine per cos²θ e ottieni tan²θ + 1 = sec²θ; dividi invece per sin²θ e ottieni 1 + cot²θ = csc²θ. La pagina della circonferenza goniometrica mostra il triangolo che gira lungo la circonferenza.
Le formule degli angoli vengono da due
Impara le formule di addizione del seno e del coseno. Tutta la sezione delle formule degli angoli deriva da queste:
- Duplicazione: poni B = A nella formula di addizione, e sin(A + A) diventa 2 sin A cos A.
- Linearizzazione: ricava sin²θ da cos 2θ = 1 − 2sin²θ.
- Bisezione: la formula di linearizzazione con θ scritto come metà di 2θ, poi una radice quadrata.
- Sottrazione: sostituisci B con −B e usa la parità.
Qualsiasi triangolo, non solo quelli rettangoli
I rapporti richiedono un angolo retto. Per qualsiasi altro triangolo, chiama ogni angolo con una lettera maiuscola e il lato di fronte con la stessa lettera minuscola. Allora:
- Il teorema dei seni lega ogni lato all'angolo opposto. Usalo quando conosci un lato e il suo angolo opposto.
- Il teorema del coseno (o di Carnot) è il teorema di Pitagora con una correzione per l'angolo: quando C = 90°, cos C = 0 e diventa c² = a² + b². Usalo quando conosci due lati e l'angolo compreso, oppure tutti e tre i lati.
Gradi e radianti
Un giro completo è 360°, cioè 2π radianti, quindi 180° = π radianti. Le identità valgono in entrambe le unità. La lunghezza dell'arco s = rθ e l'area del settore A = ½r²θ richiedono θ in radianti: è questo che le rende così brevi.
Prova tu
Dove andare dopo
Per capire da dove vengono questi valori, leggi SOHCAHTOA e la circonferenza goniometrica. Il formulario di geometria ha le formule di area, volume e coordinate.
Domande frequenti
Esiste un formulario di trigonometria da stampare?
Sì. Tutto quello che c'è in questa pagina si scarica anche gratis come PDF in formato A4 e come PNG. I pulsanti per scaricarlo sono sopra il foglio e di nuovo sotto.
Quali sono le tre identità pitagoriche?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ. Vale la pena ricordare solo la prima: dividila per cos²θ per ottenere la seconda e per sin²θ per ottenere la terza.
Quando si usa il teorema dei seni e quando quello del coseno?
Usa il teorema dei seni quando conosci un angolo e il lato opposto, più un altro lato o un altro angolo. Usa il teorema del coseno quando conosci due lati e l'angolo compreso tra loro, oppure tutti e tre i lati. In un triangolo rettangolo non ti serve nessuno dei due: bastano i rapporti sin, cos e tan.
Quali formule trigonometriche devo imparare a memoria?
I tre rapporti, sin²θ + cos²θ = 1 e le formule di addizione per sin e cos. Le formule di duplicazione sono quelle di addizione con B = A, quelle di bisezione e di linearizzazione derivano dalla duplicazione, e le identità reciproche e del quoziente sono definizioni.
Le formule valgono in gradi e in radianti?
Sì, ogni identità vale in entrambe le unità. Solo le formule che mettono insieme un angolo e una lunghezza richiedono i radianti: la lunghezza dell'arco s = rθ e l'area del settore A = ½r²θ sono vere solo se θ è in radianti.
